迪尼定理

在数学中，迪尼定理叙述如下：设 X 是一个紧致的拓扑空间， ${\displaystyle \scriptstyle f_{n}(x)}$是 X 上的一个单调递增的连续实值函数列（即使得对任意 n 和 X 中的任意 x 都有${\displaystyle \scriptstyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$）。如果这个函数列逐点收敛到一个连续的函数 f ，那么这个函数列一致收敛到 f 。这个定理以意大利数学家乌利塞·迪尼命名。

对于单调递减的函数列，定理同样成立。这个定理是少数的由逐点收敛可推出一致收敛的例子之一，原因是由单调性这个更强的条件。

注意定理中的 f 一定要是连续的，否则可以构造反例。比如说在区间 [0,1] 上的函数列 {xⁿ}。这是一个单调递减函数，逐点收敛到函数 f ：当 x 属于 [0,1) 时f(x) 等于 0 ，f(1) 等于 1。但这个函数列不是一致收敛的，因为 f 不连续。

证明

我们对单调递增的函数列作证明：对于任意 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，对每个 n ，设 ${\displaystyle \ g_{n}=f-f_{n}}$ 再设${\displaystyle \ E_{n}}$为使得${\displaystyle \ g_{n}(x)<\varepsilon .}$ 的${\displaystyle x\in X}$。显然每个${\displaystyle g_{n}}$ 都连续，于是每个${\displaystyle E_{n}}$ 都是开集（在拓扑空间中，连续函数被定义为使得开集的原像都是开集的函数，可以证明这种定义和一般的连续定义是等价的，而${\displaystyle [0,\varepsilon )}$是正实数集中的开集）。函数列{${\displaystyle g_{n}}$} 是单调递减的，因此${\displaystyle E_{n}}$ 是${\displaystyle E_{n+1}}$ 的子集。又由于 ${\displaystyle \ f_{n}}$ 逐点收敛到 f ，所有（${\displaystyle E_{n}}$） 的并集是 X 的一个开覆盖。但是 X 是一个紧集于是存在正整数 N 使得${\displaystyle E_{N}=X}$。因此对所有 ${\displaystyle n>N}$，对所有的 ${\displaystyle x\in X}$，都有 ${\displaystyle 0<g_{n}(x)=f(x)-f_{n}(x)<\varepsilon }$，于是{${\displaystyle f_{n}}$} 一致收敛于 f 。

参见

• 拓扑空间
• 一致收敛