Conor karierę rozpoczął w wieku 10 lat od startów w kartingu. W 2006 roku zadebiutował w krajowych mistrzostwach Skip Barber. Dwa lata później został jej mistrzem. W regionalnej Formule Ford został sklasyfikowany na 3. miejscu. W sezonie 2009 awansował do mistrzostw Star Mazda. W pierwszym podejściu zmagania zakończył na 3. lokacie. W drugim zdominował rywalizację, zwyciężając w 7 z 13 wyścigów.
Indy Lights
W 2011 roku zadebiutował w amerykańskiej serii Indy Lights, podpisując kontrakt z zespołem Sam Schmidt Motorsports. Z dorobkiem 145 punktów uplasował się na trzynastej pozycji w klasyfikacji generalnej. Do serii powrócił w 2013 roku, kiedy to zajął również trzynaste miejsce.
Seria GP3
W roku 2011 nawiązał współpracę z brytyjską stajnią Carlin, startującą w serii GP3. Amerykanin trzykrotnie znalazł się na premiowanych punktami pozycjach. Ostatecznie w klasyfikacji generalnej uplasował się na 17. miejscu. Rok później odniósł już jedno zwycięstwo i pięciokrotnie stawał na podium. Z dorobkiem 106 punktów uplasował się na piątej pozycji w klasyfikacji generalnej.
W sezonie 2013, kontynuując starty z ekipą ART Grand Prix, Amerykanin liczył się do końca w walce o mistrzowski tytuł. Ostatecznie z dorobkiem jednego zwycięstwa i sześciu miejsc na podium ukończył sezon na najniższym stopniu podium klasyfikacji generalnej.
Seria GP2
Podczas pierwszej rundy sezonu 2013 na torze Sepang International Circuit Daly wystartował z niemiecką ekipą Hilmer Motorsport w Serii GP2. Podczas niedzielnego wyścigu zajął siódmą lokatę, co dało mu w ostatecznym rozrachunku dwa punkty do klasyfikacji generalnej. Został sklasyfikowany na 26 pozycji.
Na sezon 2014 Amerykanin podpisał kontrakt z włoską ekipą Venezuela GP Lazarus. Wystartował łącznie w osiemnastu wyścigach i raz zdobywał punkty - w sprincie w Budapeszcie uplasował się na siódmej pozycji. Uzbierał łącznie dwa punkty, które zapewniły mu 26 miejsce w końcowej klasyfikacji kierowców.
