有限幾何學

2阶有限仿射平面，包含4个点和6条线。相同颜色的线是“平行”的。

在數學中，有限幾何是滿足某些幾何學公理，但僅含有限個點的幾何系統。歐氏幾何並非有限，因為它必包含一條歐氏直線，其上的點一一對應於實數。

有限幾何系統可以依維度分類，為簡單起見，以下僅介紹低維度的情形。

有限平面

有限平面幾何可以分為仿射與射影兩類。在仿射空間中可以探討線的平行性，射影空間則否。

定義. 仿射平面是一個非空集 ${\displaystyle X}$（其成員稱為點）及一族 ${\displaystyle X}$ 的子集 ${\displaystyle L}$（其成員稱為線），使之滿足下述條件：

1. 任兩點包含於唯一的一條線。
2. 平行公設：給定線 ${\displaystyle \ell }$ 及點 ${\displaystyle p\notin \ell }$，存在唯一的線 ${\displaystyle \ell '}$ 使之包含 ${\displaystyle p}$ 且 ${\displaystyle \ell \cap \ell '=\emptyset }$。
3. 存在四個點，其中任三點不共線。

最後一條公設保證幾何非空，前兩條公設確定了幾何的性質。

最簡單的仿射平面由四點構成，其中任兩點決定唯一一條線，所以此平面有六條線。這可以設想為四面體的頂點與邊。

一般而言，${\displaystyle n}$階仿射平面有 ${\displaystyle n^{2}}$ 個點與 ${\displaystyle n^{2}+n}$ 條線；每條線含 ${\displaystyle n}$ 點，每點落於 ${\displaystyle n+1}$ 條線。

定義. 射影平面是一個非空集 ${\displaystyle X}$（其成員稱為點）及一族 ${\displaystyle X}$ 的子集 ${\displaystyle L}$（其成員稱為線），使之滿足下述條件：

1. 任兩點包含於唯一的一條線。
2. 任兩條相異的線交於唯一一點。
3. 存在四個點，其中任三點不共線。

Fano 平面的圖解

在上述公理中，我們可以交換點及線的角色，這蘊含了射影幾何的對偶性：若射影幾何的某命題成立，則將命題中的點與線互換後，新命題依然成立。

最簡單的射影平面稱作 Fano 平面，又稱二階射影平面，由七條線及七個點構成。若除去任一直線（及其上之點），將得到二階仿射平面。

一般而言，${\displaystyle n}$ 階射影平面的點、線個數均為 ${\displaystyle n^{2}+n+1}$，每條線含 ${\displaystyle n+1}$ 個點，每個點落於 ${\displaystyle n+1}$ 條線。

對任意正整數 ${\displaystyle n}$，${\displaystyle n}$ 階射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是這種幾何存在當且僅當 ${\displaystyle n}$ 是素數冪。

有限幾何的對稱群

若一映射 ${\displaystyle f:X\to X}$ 保存共線關係，則稱之為 ${\displaystyle X}$ 的對稱（或自同構）。Fano 平面的對稱群同構於 ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {F} _{7})}$，有 ${\displaystyle 168}$ 個元素。

外部連結

• （英文）有限幾何資源 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）Chris Godsil, Finite Geometry，2004. 可自由下載。