Теорема про суму двох квадратів

Цілі числа, які задовольняють теорему про суму двох квадратів, є квадратами можливих відстаней між цілочисельними точками ґратки; показано значення до 100, зокрема,

•	квадрати (а, отже, цілі відстані) червоного кольору, і
•	неунікальні подання (включно з поворотами та відбиттями), виділені жирним шрифтом

У теорії чисел теорема про суму двох квадратів пов'язує розкладання будь-якого цілого числа n > 1 на прості множники з тим, чи можна його записати як суму двох квадратів, так що n = a² + b² для деяких цілих чисел a, b^[1].

Ціле число, більше за одиницю, можна записати як суму двох квадратів тоді й лише тоді, коли його розклад на прості множники не містить множника p^k, де просте ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$ і k непарне.

У записі числа у вигляді суми двох квадратів допускається, щоб один із квадратів дорівнював нулю або обидва вони дорівнювали один одному, тому всі квадрати та всі подвійні квадрати входять до чисел, які можна подати в такий спосіб. Ця теорема доповнює теорему Ферма про суму двох квадратів, яка каже, коли просте число можна записати у вигляді суми двох квадратів, оскільки вона також охоплює випадок складених чисел.

Число може мати кілька подань у вигляді суми двох квадратів, які підраховує функція суми квадратів; наприклад, кожна трійка Піфагора ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ дає друге подання для ${\displaystyle c^{2}}$ окрім тривіального подання ${\displaystyle c^{2}+0^{2}}$.

Приклади

Дано розклад на прості множники числа 2450: ${\displaystyle 2450=2\cdot 5^{2}\cdot 7^{2}}$. З простих чисел, що зустрічаються в цьому розкладі, 2, 5 і 7, тільки 7 дорівнює 3 за модулем 4. Його показник степеня в розкладі, 2, є парним. Отже, згідно з теоремою, його можна подати, як суму двох квадратів. Дійсно, 2450 = 7² + 49².

Розклад на прості множники числа 3430 такий: ${\displaystyle 2\cdot 5\cdot 7^{3}}$. Цього разу показник 7 у розкладі дорівнює непарному числу 3. Отже, 3430 не можна записати, як суму двох квадратів.

Подавані числа

Числа, які можна подати у вигляді суми двох квадратів, утворюють послідовність^[2]

0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, …

Вони утворюють множину всіх норм гауссових цілих чисел;^[2] їхні квадратні корені утворюють множину всіх довжин відрізків між парами точок двовимірної цілочисельної ґратки.

Кількість подаваних чисел у діапазоні від 0 до будь-якого числа ${\displaystyle n}$ пропорційна ${\displaystyle {\frac {n}{\sqrt {\log n}}}}$, із граничною сталою пропорційності, заданою сталою Ландау — Рамануджана, приблизно 0,764^[3].

Добуток будь-яких двох подаваних чисел є іншим подаваним числом. Його подання можна отримати з подань множників, використовуючи тотожність Брамагупти — Фібоначчі.

Теорема Якобі про два квадрати

Теорема Якобі про два квадрати стверджує

Кількість подань ${\displaystyle n}$ у вигляді суми двох квадратів дорівнює помноженій на 4 різниці між кількістю дільників ${\displaystyle n}$, рівних 1 за модулем 4, і кількістю дільників ${\displaystyle n}$, рівних 3 за модулем 4.

Гіршгорн наводить коротке доведення, отримане з потрійного добутку Якобі^[en][4].

Див. також

• Теорема Лежандра про три квадрати
• Теорема Лагранжа про чотири квадрати
• Функція суми квадратів
• Тотожність Брамагупти

Примітки

1. Dudley, Underwood (1969). Sums of Two Squares. Elementary Number Theory. W.H. Freeman and Company. с. 135—139.^{[недоступне посилання]}
2. Слоун, Ніл (ред.). Sequence A001481 (Numbers that are the sum of 2 squares). Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей. OEIS Foundation.
3. Rebák, Örs (2020). Generalization of a Ramanujan identity. The American Mathematical Monthly. 127 (1): 80—83. arXiv:1612.08307. doi:10.1080/00029890.2020.1668716. MR 4043992.
4. Hirschhorn, Michael (1985). A simple proof of Jacobi's two-square theorem (PDF). Amer. Math. Monthly. 92: 579—580.