Тангенціальний трикутник

Тангенціальний трикутник A_tB_tC_t та ортотрикутник A_hB_hC_h для трикутника ABC.

Якщо навколо даного гострокутного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$ описати коло і в трьох вершинах трикутника провести прямі, дотичні до кола, то перетин цих прямих утворює так званий тангенціальний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ по відношенню до даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$. Трикутник ${\displaystyle \Delta ABC}$ по відношенню до трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$ називають тангенціальним трикутником, бо його сторони ${\displaystyle A'C'}$, ${\displaystyle B'C'}$ і ${\displaystyle A'B'}$ є дотичними до кола, описаного навколо даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$ відповідно в вершинах ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle C}$.

Зауваження

Тангенціальний по латині означає дотичний, хоча термін дотичний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ може мати і кілька більш загальний сенс, як трикутник, на сторонах якого лежать вершини даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$.

Координати вершин

Трикутні координати вершин тангенціального трикутника

${\displaystyle A'=-a:b:c}$

${\displaystyle B'=a:-b:c}$

${\displaystyle C'=a:b:-c}$

Властивості

• Сторони тангенціального трикутника ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ антипаралельні відповідним протилежним сторонам даного трикутника (по властивості антипаралельності дотичних до кола).
• Сторони тангенціального трикутника паралельні відповідним сторонам Ортотрикутника.
• Вписане в тангенціальний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ коло є описаним колом по відношенню до даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$.
• Центр вписаного в тангенціальний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ кола збігається з центром кола, описаного близько даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$.
• Зв'язок між кутами тангенціального трикутника і даного трикутника ΔABC

${\displaystyle \ A'=\pi -2A;}$ ${\displaystyle \ B'=\pi -2B;}$ ${\displaystyle \ C'=\pi -2C.}$

• Центр вписаного в тангенціальний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ кола збігається з центром кола, описаного близько даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$.
• Для даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$ його тангенціальний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ і Ортотрикутник ${\displaystyle \Delta A''B''C''}$ подібні.
• Площа даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$ дорівнює середньому геометричному між площами тангенціального трикутника і Ортотрикутника.
• Площа тангенціального трикутника дорівнює^[1]:

${\displaystyle S_{tan}={\frac {S(2abc)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}}$

де ${\displaystyle S}$ - площа трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$; ${\displaystyle a,b,c}$ - його відповідні сторони.

Або^[2]

${\displaystyle S_{tan}={\frac {1}{2}}|S\sec A\sec B\sec C|}$

• Сторони тангенціального трикутника дорівнюють^[2]

${\displaystyle a'={\frac {2a^{3}bc}{|a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}|}}}$

${\displaystyle b'={\frac {2ab^{3}c}{|b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}|}}}$

${\displaystyle c'={\frac {2abc^{3}}{|c^{4}-(b^{2}-a^{2})^{2}|}}}$

Властивості подібності родинних трикутників

• Вихідний трикутник ${\displaystyle \Delta ABC}$ по відношенню до Ортотрикутника є трикутником трьох зовнішніх бісектрис.
• Ортотрикутник і тангенціальний трикутник подібні (Зетель, 1962, наслідок 1, § 66).
• Ортотрикутник Ортотрикутника і вихідний трикутник подібні.
• Трикутник трьох зовнішніх бісектрис трикутника трьох зовнішніх бісектрис і вихідний трикутник подібні.
• Ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.
• Вище зазначені властивості подібності родинних трикутників є наслідком нижче перерахованих властивостей паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників.

Властивості паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників

• Сторони даного гострокутного трикутника антипаралельні відповідним сторонам Ортотрикутник, проти яких вони лежать.
• Сторони тангенціального трикутника антипаралельні відповідним протилежним сторонам даного трикутника (по властивості антипаралельності дотичних до кола).
• Сторони тангенціального трикутника паралельні відповідним сторонам Ортотрикутник.
• Нехай, точки дотику вписаного в даний трикутник кола з'єднані відрізками, тоді вийде трикутник Жергонна, і в отриманому трикутнику проведено висоти. В цьому випадку прямі, що з'єднують підстави цих висот, паралельні сторонам вихідного трикутника. Отже Ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.

Чудові точки

Наступна таблиця дає відповідність чудових точок тангенціального трикутника з центрами вихідного трикутника. X_n означає індекс чудової точки в списку Кімберлінга^[3].

Xn	Центр тангенціального трикутника	Xn	Центр вихідного трикутника
X2	центроїд трикутника	X154	X3 чева-сполучена точка до X6
X3	центр описаного кола	X26	центр описаного кола тангенціального трикутника
X4	Ортоцентр	X155	власний центр Ортотрикутник
X5	центр дев'яти точок	X156	X5 тангенціального трикутника
X6	точка перетину симедіан	X157	X6 тангенціального трикутника
X30	нескінченна точка прямої Ейлера	X1154	ізогональне сполучення точки X1141
X523	ізогональне сполучення точки X110	X1510	крос-різниця точок Наполеона

Див. також

• Ортотрикутник
• Подерний трикутник
• Описаний багатокутник

Примітки

1. Формулу можна вивести з попередньої властивості і площі Ортотрикутник
2. Weisstein, Eric W. Tangential Triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
3. Енциклопедія центрів трикутника