Середнє за Чезаро

В математиці середні за Чезаро послідовності ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ — це середні арифметичні перших ${\displaystyle n}$ членів ${\displaystyle \{a_{n}\}}$:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

Поняття назване на честь італійського математика Ернесто Чезаро^[en].

Основний результат теорії чезарових середніх (див. теорема Штольца) стверджує, що якщо існує границя послідовності ${\displaystyle a_{n}}$, то також існує границя послідовності ${\displaystyle c_{n}}$, і вони рівні:

${\displaystyle \exists \lim _{n\to \infty }a_{n}=A\Rightarrow \exists \lim _{n\to \infty }c_{n}=A}$.

Тим самим, операція взяття чезарового середнього має властивість регулярності — зберігає властивість збіжності послідовності та її границю. В той же час, існує багато прикладів, коли вихідна послідовність не має границі, а її чезарові середні збігаються. (Наприклад, послідовність ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$.) Це дозволяє використовувати чезарові середні як один з методів підсумовування розбіжних рядів.

Посилання

• Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.(рос.)