Рівняння конвекції-дифузії

Рівняння конвекції-дифузії — рівняння математичної фізики, що враховують водночас процеси дифузії та конвекції (адвекції). Вони застосовуються для моделювання руху частинок, енергії або інших фізичних величин у певній фізичній системі. За основу береться рівняння дифузії (або теплопровідності, вони мають однакову форму), а для врахування адвекції використовуються додаткові члени. Залежно від контексту, одне і те ж рівняння можуть називати адвективно-дифузійним рівнянням або скалярним рівнянням перенесення.^[1]

Рівняння

Загальна форма рівняння

У загальній формі рівняння має вигляд^[2][3]

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot ({\vec {v}}c)+R}$

де

• c — невідоме, залежне від часу скалярне поле (концентрація при масообміні, температура при теплообміні).
• D —  коефіцієнт дифузії для руху частинок або температуропровідності при теплообміні.
• ${\displaystyle {\vec {v}}\ }$ — поле швидкостей. Ця функція є функцією простору і часу. Наприклад, в адвекції c може бути концентрацією солі в річці, й тоді ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — швидкість водного потоку, що залежить від часу та положення.
• R описує зовнішні джерела. Наприклад, в теплообміні, R > 0 може вказувати, що теплова енергія генерується внаслідок тертя.
• ${\displaystyle \nabla }$ — градієнт і ${\displaystyle \nabla \cdot }$ — дивергенція. В цьому рівнянні ${\displaystyle \nabla c}$ відповідає за градієнт концентрації.

Опис складових рівняння

Права частина рівняння це сума трьох доданків.

• Перший доданок, ${\displaystyle \nabla \cdot (D\nabla c)}$, описує дифузію. Нехай c — концентрація хімічної речовини. Якщо концентрація в даній точці низька у порівнянні з оточенням (наприклад, локальний мінімум концентрації), то речовина буде дифундувати зовні туди, де концентрація менша, внаслідок чого концентрація збільшуватиметься. І навпаки, якщо концентрація вища, ніж в оточенні (наприклад, локальний максимум концентрації), то речовина буде дифундувати назовні, й тому концентрація зменшуватиметься. Якщо коефіцієнт дифузії D сталий, то дифузійний член виражається через оператор Лапласа (тобто другі похідні від координати).
• Другий доданок, ${\displaystyle -\nabla \cdot ({\vec {v}}c)}$, описує потік, тобто конвекцію (або адвекцію). Наприклад, кожної секунди проводиться вимірювання солоності води в річці в певному місці. Вище за течією хтось висипає в річку відро солі. Через деякий час, можна побачити, що солоність раптово піднімається, а потім спадає, коли зона солоної води проходить повз місце, де проводяться вимірювання. Таким чином, концентрація в даному місці може змінюватися завдяки потоку.
• Третій доданок, R, описує зміну концентрації внаслідок утворення або розпаду частинок, поглинання та втрати енергії тощо. Наприклад, якщо c — концентрація молекул, то R описує, як молекула створюється або зникає в результаті хімічних реакцій. R може бути функцією, що залежить від с та інших параметрів. Нерідко виникає така ситуація, коли при зникненні однієї речовини виникає інша речовина, хоча обидві речовини мають різні рівняння конвекції-дифузії. Наприклад, при горінні метану, зникає метан та кисень, але паралельно утворюється вуглекислий газ і водяна пара. Тому, хоча кожна з цих речовин має свої рівняння конвекції-дифузії, вони є «зв'язані», і тоді треба розв'язувати систему одночасних рівнянь.

Спрощена форма

Здебільшого коефіцієнт дифузії сталий, джерела та стоки відсутні, а поле швидкостей описується як нестисливий потік (тобто має нульову дивергенцію). Тоді формула спрощується^[4][5][6]:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c-{\vec {v}}\cdot \nabla c.}$

У такому вигляді, рівняння конвекції-дифузії поєднує в собі параболічне і гіперболічне рівняння.

Стаціонарне рівняння

Стаціонарне рівняння конвекції-дифузії описує поведінку конвективно-дифузійної системи, стан якої не змінюється з часом. Тоді ${\displaystyle \partial c/\partial t=0}$, тому рівняння запишеться у вигляді:

${\displaystyle 0=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot ({\vec {v}}c)+R.}$

Отримання

Рівняння конвекції-дифузії можна отримати з рівнянь неперервності, які стверджують, що швидкість зміни для скалярної величини в математичній моделі відбувається через локальні потік і дифузію разом з генерацією та розпадом:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=R,}$

де ${\displaystyle {\vec {j}}}$ — сумарна густина потоку, а R — джерело для c.

Густина потоку складається зі внесків двох типів. Перший, дифузійний потік, виникає через дифузію. Її, зазвичай, апроксимують першим законом Фіка:

${\displaystyle {\vec {j}}_{\text{diffusion}}=-D\,\nabla c}$

тобто, потік дифузійної речовини у будь-якій частині системи пропорційний градієнту локальній концентрації. Другою складовою є адвективний потік, ::

${\displaystyle {\vec {j}}_{\text{advective}}={\vec {v}}\,c}$

Сумарний потік (в нерухомій системі координат) визначається сумою цих двох складових:

${\displaystyle {\vec {j}}={\vec {j}}_{\text{diffusion}}+{\vec {j}}_{\text{advective}}=-D\,\nabla c+{\vec {v}}\,c.}$

Підстановка у рівняння неперервності дає:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\,\nabla c+{\vec {v}}\,c\right)=R.}$

Конвекція Релея-Бенара

Загалом, D, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ і R можуть змінюватися в просторі та часі. У таких випадках, коли вони залежать від концентрації й рівняння стає нелінійним, виникає таке явище як конвекція Релея-Бенара, коли ${\displaystyle {\vec {v}}}$ визначається процесом теплообміну, а R — процесом масообміну через рівняння хімічної реакції.

Швидкість через дію сил

У деяких випадках середнє поле швидкості ${\displaystyle {\vec {v}}}$ існує через дію різних сил; наприклад, рівняння може описувати потік іонів, розчинених в рідині, з використанням електричного поля, які рухаються в певному напрямку. В цьому випадку його зазвичай називають рівнянням Смолюховського, після того, як Мар'ян Смолюховський  описав його в 1915 році^[7].

Зазвичай, середня швидкість прямо пропорційна прикладеній силі, що дає таке рівняння^[8][9]:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot (\zeta ^{-1}{\vec {F}}c)+R}$,

де ${\displaystyle {\vec {F}}}$ — сила, а ${\displaystyle \zeta }$ характеризує тертя або в'язкий опір.

Доведення співвідношення Ейнштейна

Якщо сила визначається через потенційну енергію ${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla U}$, то розв'язок для стаціонарного рівняння має вигляд:

${\displaystyle c\propto \exp(-D^{-1}\zeta ^{-1}U).}$

(припускаючи, що D та ${\displaystyle \zeta }$ є константами). Іншими словами, частинки концентруються там, не їхня енергія менша. Ця залежність концентрації від потенціалу має вигляд, аналогічний розподілу Больцмана. Звідси випливає співвідношення Ейнштейна^[9]:

${\displaystyle D\zeta =k_{B}T.}$

Стохастичне диференціальне рівняння

Якщо в рівнянні конвекції-дифузії відсутні джерела, тобто R=0, то дане рівняння можна розглядати як стохастичне диференціальне рівняння, яке описує випадковий рух з коефіцієнтом дифузії D в потоці ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Наприклад, рівняння може описувати броунівський рух однієї частинки, де змінна c відповідає ймовірності частинки мати задане положення в заданий момент часу.

Рівняння Ланжевена описує водночас адвекцію, дифузію та інші явища чисто стохастично. Одна з простих форм рівняння Ланжевена відповідає випадку, коли шум гаусів. Тоді рівняння Ланжевена повністю еквівалентне конвекційно-дифузійному^[9]. Однак воно загальніше^[9].

Чисельне розв'язання

Для розв'язування рівняння конвекції-дифузії найчастіше використовують чисельні методи, наприклад метод скінченних елементів, які чисельно апроксимують розв'язок за допомогою комп'ютерів.

Подібні рівняння в інших контекстах

Рівняння конвекції-дифузії — відносно прості рівняння, що описують потоки або стохастично мінливу систему. Тому те саме або подібне рівняння виникає в багатьох контекстах, не пов'язаних з потоком через простір.

• Воно фактично ідентичне до рівняння Фокера-Планка для швидкості частинки.
• Тісно пов'язане з рівняння Блека–Шоулса та іншими рівняннями фінансової математики.
• Тісно пов'язане з рівняннями Нав'є–Стокса, оскільки потік імпульсу в рідині математично схожий на потік маси або енергії.

У фізиці напівпровідників

Генерування носіїв заряду (зеленим позначено електрони, фіолетовим —дірки) світлом у центрі напівпровідника і їхнє розбігання до обох кінців. Електрони мають більшу дифузійну проникність, ніж дірки, що веде до зменшення кількості надлишкових електронів у центрі в порівнянні з дірками.

У фізиці напівпровідників аналогічні рівняння називають дрейф–дифузійними, де слово "дрейф" відноситься до дрейфового струму та швидкості дрейфу. Ці рівняння мають вигляд:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}=-D_{n}\nabla n-n\mu _{n}\mathbf {E} }$

${\displaystyle {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} }$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R}$

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R}$

де

• n та p — концентрації електронів і дірок, відповідно.
• q — елементарний заряд (вважається додатним).
• J_n та J_p — електричні струми, що виникають за рахунок електронів та дірок, відповідно.
• J_n/−q та J_p/q — «потоки частинок», електронів та дірок, відповідно.
• R задає генерацію і рекомбінацію носіїв заряду (R > 0 для генерації електронно-діркових пар, R < 0 для рекомбінації).
• Е — вектор електричного поля.
• ${\displaystyle \mu _{n}}$ та ${\displaystyle \mu _{p}}$ — електронна і діркова рухливість.

Коефіцієнти дифузії та рухливості пов'язані співвідношеннями Ейнштейна:

${\displaystyle D_{n}=\mu _{n}k_{B}T/q,\quad D_{p}=\mu _{p}k_{B}T/q,}$

де k_B — стала Больцмана, а Т — термодинамічна температура.

Дрейфовий та дифузійний струми задаються окремими доданками:

${\displaystyle \mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}/(-q)=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}/q=p\mu _{p}\mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {J} _{n,{\text{diffusion}}}/(-q)=-D_{n}\nabla n,\qquad \mathbf {J} _{p,{\text{diffusion}}}/q=-D_{p}\nabla p.}$

Приклад розв'язку дрейфового рівняння дифузії проілюстровано праворуч. Вважається, що носії заряду генеруються в освітленому центрі напівпровідника і дифундують в обидва кінці. Можна побачити градієнти концентрацій носіїв від центру до кінців.

Посилання

1. Computational Fluid Dynamics in Industrial Combustion by Baukal and Gershtein, p67, google books link.
2. Introduction to Climate Modelling, by Thomas Stocker, p57, google books link
3. Advective Diffusion Equation, lecture notes by Scott A. Socolofsky and Gerhard H. Jirka, web link [Архівовано 2010-06-25 у Wayback Machine.]
4. Bejan A (2004). Convection Heat Transfer.
5. Bird, Stewart, Lightfoot (1960). Transport Phenomena.
6. Probstein R (1994). Physicochemical Hydrodynamics.
7. M. v.
8. http://www.ks.uiuc.edu/~kosztin/PHYCS498NSM/LectureNotes/chp4.pdf
9. The Theory of Polymer Dynamics by Doi and Edwards, pp 46–52, google books link

Примітки

1. Кухарський, В. М. (2008). Комп’ютерне моделювання засобами FEMLAB. Навчальний посібник (Українська). Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. с. 144.