Принцип збереження області

Принцип збереження області — важливе твердження у комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій.

Згідно з цією теоремою, якщо функція ${\displaystyle f}$ є голоморфною в області (зв'язаній відкритій підмножині) ${\displaystyle D}$ і не є константою, то і образ ${\displaystyle D^{*}=f(D)}$ також є областю. Зокрема голоморфна функція на області є відкритим відображенням.

Принцип збереження області встановлює значну відмінність між голоморфністю і дійсною диференційовністю. На дійсній прямій, наприклад, диференційовна функція f(x) = x² не є відкритим відображенням оскільки образом відкритої множини (−1, 1) є множина [0, 1), що не є відкритою. Іншим прикладом є функція комплексної змінної ${\displaystyle z\to z{\bar {z}}}$, що є ${\displaystyle \mathbb {R} }$-диференційовною нескінченну кількість разів. Вона не є відкритим відображенням оскільки образом ${\displaystyle \mathbb {C} }$ є підмножина дійсних чисел ${\displaystyle [0,\infty )}$, що не є відкритою.

Доведення

Потрібно довести, що множина ${\displaystyle D^{*}}$ є зв'язною і відкритою. Нехай ${\displaystyle w_{1}}$ і ${\displaystyle w_{2}}$ — дві довільні точки ${\displaystyle D^{*}}$ і ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ — деякі прообрази ${\displaystyle w_{1}}$ і ${\displaystyle w_{2}}$ в ${\displaystyle D}$. Так як множина ${\displaystyle D}$ є лінійно зв'язною, то існує крива ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to D}$, що з'єднує точки ${\displaystyle z_{1}}$ і ${\displaystyle z_{2}}$. Оскільки ${\displaystyle f}$ є неперервною функцією образ ${\displaystyle \gamma ^{*}=f\circ \gamma }$ буде неперервною кривою, що з'єднує точки ${\displaystyle w_{1}}$ і ${\displaystyle w_{2}}$. Всі точки цієї кривої, очевидно належать ${\displaystyle D^{*}}$. Таким чином, множина ${\displaystyle D^{*}}$ є зв'язною.

Нехай ${\displaystyle w_{0}}$ — довільна точка ${\displaystyle D^{*}}$ і ${\displaystyle z_{0}}$ — один із її прообразів в ${\displaystyle D}$. Так як ${\displaystyle D}$ є відкритою множиною, то існує круг ${\displaystyle \{|z-z_{0}|<r\}\subset D}$. Зменшуючи в разі потреби ${\displaystyle r}$, можна вважати, що ${\displaystyle \{|z-z_{0}|\leqslant r\}\subset D}$ не містить інших прообразів ${\displaystyle w_{0}}$, крім ${\displaystyle z_{0}}$ (оскільки ${\displaystyle f}$ не є константою, то прообрази ${\displaystyle w_{0}}$ є ізольованими точками в ${\displaystyle D}$). Позначимо через ${\displaystyle \gamma =\{|z-z_{0}|=r\}}$ коло, що обмежує круг і ${\displaystyle \mu =\min _{z\in \gamma }|f(z)-w_{0}|}$.

Очевидно, ${\displaystyle \mu >0}$, бо неперервна функція ${\displaystyle |f(z)-w_{0}|}$ досягає на ${\displaystyle \gamma }$ свого мінімального значення, і якби було ${\displaystyle \mu =0}$, то на колі ${\displaystyle \gamma }$ існував би прообраз точки ${\displaystyle w_{0}}$ всупереч побудови кола.

Доведемо, що круг ${\displaystyle \{|w-w_{0}|<\mu \}\subset D^{*}}$. Нехай ${\displaystyle w_{1}}$ — довільна точка цього круга, тобто ${\displaystyle |w_{1}-w_{0}|<\mu }$. Тоді ${\displaystyle f(z)-w_{1}=f(z)-w_{0}+(w_{0}-w_{1})}$, до того ж на ${\displaystyle \gamma }$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(z)-w_{0}|\geqslant \mu }$. Оскільки ${\displaystyle |w_{1}-w_{0}|<\mu }$ то згідно теореми Руше функція ${\displaystyle f(z)-w_{1}}$ має всередині круга обмеженого ${\displaystyle \gamma }$ стільки ж нулів, скільки їх має там функція ${\displaystyle f(z)-w_{0}}$ тобто принаймні один нуль. Отже, функція ${\displaystyle f}$ всередині круга обмеженого ${\displaystyle \gamma }$ приймає значення ${\displaystyle w_{1}}$ тобто ${\displaystyle w_{1}\in D^{*}}$. Оскільки ${\displaystyle w_{1}}$ — довільна точка круга ${\displaystyle \{|w-w_{0}|<\mu \}}$, то весь цей круг належить ${\displaystyle D^{*}}$ і тому множина ${\displaystyle D^{*}}$ є відкритою.

Функції багатьох змінних

Теорема легко узагальнюється на випадок голоморфних функцій багатьох комплексних змінних. У цьому випадку голоморфна функція на області (зв'язаній відкритій підмножині) ${\displaystyle D}$, що не є константою теж є відкритим відображенням.

Доведення легко зводиться до випадку однієї змінної. Нехай ${\displaystyle w=f(z)}$ де ${\displaystyle w\in \mathbb {C} ,\;z\in D\subset \mathbb {C} ^{n}}$. Оскільки ${\displaystyle D}$ є відкритою підмножиною, то існує відкрита куля деякого радіуса ${\displaystyle r}$, така що ${\displaystyle B(z,r)\subset D}$. Оскільки функція не є константою то існує точка ${\displaystyle z_{1}\in D}$, така що ${\displaystyle f(z)\neq f(z_{1})}$. Тоді функція ${\displaystyle g(t):=f((1-t)z+tz_{1})}$ є голоморфною функцією однієї змінної, що не є константою і її обмеження на області є відкритими відображеннями. Зокрема образом точок, що належать перетину кулі ${\displaystyle B(z,r)}$ із точками вказаної прямої є відкрита множина,що є підмножиною ${\displaystyle f(D)}$. Оскільки точки ${\displaystyle z,w}$ були вибрані довільно це завершує доведення теореми.

Узагальнення

Принцип збереження області також є справедливим для голоморфних функцій на довільному комплексному многовиді: множина значень голоморфної функції на зв'язаному комплексному многовиді є областю на комплексній площині.

Принцип збереження області також виконується для голоморфних відображень комплексних многовидів у ріманові поверхні. Натомість голоморфні відображення у комплексні многовиди ${\displaystyle Y}$ розмірності більше 1 в загальному не є відкритими: якщо ${\displaystyle f}$ не є константою, але, скажімо, ранг ${\displaystyle f}$ (тобто ранг матриці Якобі відображення у даній точці) є всюди меншим ${\displaystyle \dim Y}$, то образ відображення взагалі не має внутрішніх точок.

Відкритість може порушуватися і в разі, коли ${\displaystyle \operatorname {rank} f<\dim Y}$ на множинах малої розмірності. Наприклад, при відображенні простору ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ в себе заданому як ${\displaystyle F(z_{1},z_{2})=(z_{1},z_{1}z_{2})}$ образом відображення буде невідкрита множина ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\setminus \{z_{1}=0,z_{2}\neq 0\}}$.

Для виконання принципу збереження області для голоморфних відображень, умову, що ${\displaystyle f}$ не є константою слід замінити більш сильними вимогами, наприклад умовою, що розмірність точок в яких ${\displaystyle \operatorname {rank} f<\dim Y}$ є рівною нулю.

Див. також

• Теорема Руше

Література

• Шабат, Б. В. (1976), Введение в комплексный анализ, ч. I, «Наука»
• Ludger Kaup, Burchard Kaup, Holomorphic functions of several variables:an introduction to the fundamental theory. Walter de Gruyter, 1983 ISBN 978-3110041507
• Krantz, Steven G. (1992), Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second), Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, с. xvi+557, ISBN 0-534-17088-9, MR 1162310, Zbl 776.32001.