Народився 3 червня1996 року в місті Гердекке. Розпочав займатися футболом в дитячій команді клубу «Гевельсберг», з якої 2001 року потрапив у школу клубу «БВВ Гаген». У 2010 році Клостерманн перейшов у футбольну академію «Бохума».
Влітку 2014 року Клостерман перейшов в «РБ Лейпциг»[2]. 12 грудня в матчі проти «Гройтера» він дебютував за нову команду, замінивши у другому таймі Анте Ребича[3]. 24 квітня2015 року в поєдинку проти клубу «Дармштадт 98» Лукас забив свій перший гол за «РБ Лейпциг»[4]. У 2016 році він допоміг команді вперше в своїй історії вийти в елітний німецький дивізіон. Наразі встиг відіграти за клуб з Лейпцига 43 матчі в національному чемпіонаті.