Душан Стоїнович є вихованцем футбольної академії клубу «Браво». Єдину гру в основі футболіст провів у жовтні 2017 року.[1]
У лютому 2018 року як вільний агент Стоїнович перейшов до клубу «Целє» і вже 25 лютого дебютував у чемпіонаті Словенії.[2] Влітку 2019 року захисник підписав з клубом перший професійний контракт. У сезоні 2019/20 своєю грою Стоїнович допоміг клубу виграти титул чемпіона Словенії.[3]
Влітку 2021 року Стоїнович на правах оренди приєднався до російського клубу «Хімки».[4] Та вже у лютому 2022 року повернувся до «Целє». На початку 2023 року футболіст перейшов до польської «Ягеллонії». Першу гру в Екстракласі Стоїнович провів 11 лютого, коли вийшов з перших хвилин на матч проти «Погоні».
