Квадратний корінь

Квадратний корінь
Досліджується в	математичний аналіз
Формула	${\displaystyle {\sqrt {x}}=y\implies y^{2}=x}$
Область визначення функції	множина невід'ємних дійсних чисел^d, комплексна площина, сфера Рімана і Riemann surface of the square root^d
Кодомен	континуум, комплексна площина, сфера Рімана і комплексна площина
Область значень	множина невід'ємних дійсних чисел^d, комплексна площина, сфера Рімана і комплексна площина
Апроксимаційний алгоритм	CORDIC і ітераційна формула Герона
Зображений на	√^[d]
Нотація	знак кореня
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Команда TeX	\sqrt[2]{x}
Протилежне	квадрат^[d]
Квадратний корінь у Вікісховищі

Квадра́тний ко́рінь з числа x — це число (матриця, функція, оператор тощо), квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює x. Квадратний корінь часто називають просто корінь.

Серед чисел, квадрат яких дорівнює додатному числу ${\displaystyle x}$, обов'язково є додатне число (крім 0). Це число називається арифметичним значенням квадратного кореня і позначається символом ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ або як ${\displaystyle x^{\frac {1}{2}}}$.

${\displaystyle {\sqrt {121}}=11}$

${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$

Число ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$ теж є квадратним коренем.

В загальному випадку, коли ${\displaystyle x}$ — будь-який алгебраїчний вираз, символом ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ позначається один із коренів, той для якого дійсна частина додатна.

При визначенні квадратного кореня з числа завжди існує дві відповіді. Винятком є число 0. Це показують ставлячи перед відповіддю одночасно знак плюс та мінус^[1].

Квадратний корінь як елементарна функція

Графік функції y = √x

Квадратний корінь є елементарною функцією і є окремим випадком степеневої функції x^α з α = 1/2. Арифметичний квадратний корінь є гладким при x > 0, в нулі ж він неперервний справа, але не диференційовний.^[2]

Як функція комплексної змінної корінь — двозначна функція, листи якої з'єднуються в нулі.

У геометричному сенсі, функція f(x) = √x квадратного кореня співвідносить площу квадрата до довжини його сторони.

Для всіх дійсних чисел x

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}}$     (див. абсолютне значення)

Для всіх не від'ємних дійсних чисел x і y,

${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

і

${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$

Функція квадратного кореня є неперервною для всіх не від'ємних значень x і диференційована для всіх додатних x. Якщо f позначає функцію квадратного кореня, тоді її похідна буде мати такий вигляд:

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$

Ряд Тейлора для √1 + x при x = 0 буде збіжним для ${\displaystyle \left|x\right|}$ ≤ 1 і буде визначений так:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots ,}$

Квадратний корінь невід'ємного числа використовується для визначення Евклідової норми (і відстані), а також у таких узагальненнях як Гільбертів простір. Вона визначає важливе поняття стандартного відхилення, що використовується в теорії ймовірностей і статистиці.

Узагальнення

Квадратні корені вводяться як розв'язок рівнянь вигляду ${\displaystyle x\circ x=a}$ і для інших об'єктів: матриць^[3][4], функцій^[5][6], операторів^[7][8] тощо. Операцією ${\displaystyle \circ }$ при цьому можуть бути достатньо довільні мультиплікативні операції, наприклад, суперпозиція.

В алгебрі використовується таке формальне визначення: нехай ${\displaystyle (G,\cdot )}$ — групоїд і ${\displaystyle a\in G}$. Елемент ${\displaystyle x\in G}$ називається квадратним коренем з ${\displaystyle \ a}$ якщо ${\displaystyle \ x\cdot x=a}$.

Квадратний корінь в елементарній геометрії

Квадратні корені тісно пов'язані з елементарною геометрією: якщо дано відрізок довжиною 1, то з допомогою циркуля та лінійки можна побудувати ті й тільки ті відрізки, довжина яких записується виразами, що містять цілі числа, знаки чотирьох дій арифметики, квадратні корені та нічого крім цього.^[9]

Квадратний корінь в інформатиці

У багатьох мовах програмування функціонального рівня (а також мовах розмітки типу LATEX) функція квадратного кореня позначається як sqrt (від англ. square root «квадратний корінь»).

Алгоритми знаходження квадратного кореня

Знаходження або обчислення квадратного кореня заданого числа називається добуванням (квадратного) кореня.

Розклад у ряд Тейлора

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots ,\!}$ при ${\displaystyle |x|\leqslant 1}$.

Груба оцінка

Багато алгоритмів обчислення квадратних коренів з додатного дійсного числа S потребують деякого початкового значення. Якщо початкове значення занадто далеко від справжнього значення кореня, обчислення сповільнюються. Тому корисно мати грубу оцінку, яка може бути дуже неточною, але легко обчислюватися. Якщо S ≥ 1, нехай D буде кількістю цифр S зліва від десяткової коми. Якщо S < 1, нехай D буде кількістю нулів, які йдуть підряд, справа від десяткової коми, взяту зі знаком мінус. Тоді груба оцінка матиме вигляд:

Якщо D непарне, D = 2n + 1, тоді використовуємо ${\displaystyle {\sqrt {S}}\approx 2\cdot 10^{n}.}$

Якщо D парне, D = 2n + 2, тоді використовуємо ${\displaystyle {\sqrt {S}}\approx 6\cdot 10^{n}.}$

Два і шість використовуються тому, що ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {1\cdot 10}}}={\sqrt[{4}]{10}}\approx 2\,}$ і ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {10\cdot 100}}}={\sqrt[{4}]{1000}}\approx 6\,.}$

При роботі в двійковій (яка використовується комп'ютерами), слід використовувати іншу оцінку ${\displaystyle 2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor }}$ (тут D — кількість двійкових цифр).

Геометричне добування квадратного кореня

${\displaystyle |BH|={\sqrt {|AH|\cdot |HC|}}}$

Зокрема, якщо ${\displaystyle \!|AH|=1}$, а ${\displaystyle \!|HC|=x}$, то ${\displaystyle |BH|={\sqrt {x}}}$^[10]

Ітераційний аналітичний алгоритм

${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}=a\\x_{n+1}={\dfrac {1}{2}}\left(x_{n}+{\dfrac {a}{x_{n}}}\right)\end{cases}}}$

тоді ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}$.

Квадратні корені від'ємних і комплексних чисел

Перший виток комплексного квадратного кореня

Другий виток комплексного квадратного кореня

Ріманова поверхня квадратного кореня, показує як ці два витки виглядають разом

Квадрат будь-якого додатного або від'ємного числа буде додатнім, а квадрат 0 це 0. Тому, від'ємне число не може мати квадратного кореня у вигляді дійсного числа. Однак, існує можливість представити його і вести розрахунки у вигляді спеціальних чисел, що називаються комплексними числами, коли не немає розв'язку для квадратного кореня від'ємних чисел. Для цього вводиться поняття нового числа, що позначається як i (іноді як j, особливо в контексті розрахунку електричного струму де літера "i" традиційно позначає електричний струм) і називається уявною одиницею, що визначена таким чином, що i² = −1. Використовуючи цю нотацію, ми будемо вважати що i це результат квадратного кореня від −1, але зауважимо, що ми також можемо мати ситуацію, що (−i)² = i² = −1 тому −i також є квадратним коренем від −1. Загальноприйнято, що головним квадратним коренем від −1 є i, або в більш загальному випадку, якщо x є будь-яке невід'ємне число, тоді головним квадратним коренем числа −x є

${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$

Права частина і насправді є квадратним коренем із −x, оскільки

${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$

Для будь-якого не нульового комплексного числа z існує рівно два числа w, таких що w² = z: головний (додатний) квадратний корінь z, і його від'ємний варіант.

Квадратний корінь уявного числа

Квадратні корені числа i в комплексній площині

Квадратний корінь числа i буде таким

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$

Цей можна отримати алгебраїчним шляхом знайшовши дійсні числа a і b, такі що

${\displaystyle i=(a+bi)^{2}}$

або еквівалентно

${\displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.}$

Це приводить до появи системи двох рівнянь

${\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}}$

що мають такий розв'язок:

${\displaystyle a=b=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$

Якщо вибрати з них головний (додатній) корінь, отримаємо

${\displaystyle a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$

Результат також можна отримати, якщо використати формулу Муавра і задати

${\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right),}$

що приводить до

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).\\\end{aligned}}}$

Див. також

• Квадратний корінь з двох
• День квадратного кореня
• Вкладені радикали

Примітки

1. Г. Корн, Т. Корн «Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом „Додэка- XXI“,2008. — 544 с.»(рос.)
2. Фихтенгольц, 1962, гл. 2, § 1.
3. Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
4. Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. — Спб : БХВ-Петербург, 2006.(рос.)
5. Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. — Москва : Просвещение, 1984.(рос.)
6. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. — Харьков : Изд-во ХГУ, 1966.(рос.)
7. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. — Москва : Мир, 1983.(рос.)
8. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. — Москва : Мир, 1970.(рос.)
9. Курант, 2000, Глава III Геометрические построения. Алгебра числовых полей.
10. Курант, 2000, с. 148.

Посилання

• Алгоритми обчислення квадратного кореня [Архівовано 19 Листопада 2010 у Wayback Machine.](англ.)
• A geometric view of the square root algorithm [Архівовано 23 Січня 2016 у Wayback Machine.](англ.)
• Соловьев Ю., Старый алгоритм [Архівовано 3 Березня 2016 у Wayback Machine.](рос.)

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — МЦНМО, 2000.(рос.)