Каспер Тенгстедт є вихованцем данського клубу «Мідтьюлланн». У 2019 році футболіста було внесено в заявку першої команди і одразу для набору ігрової практики Тенгстедт був відправлений в оренду у німецький «Нюрнберг», де грав у дублюючому складі. Через рік він повернувся до Данії. де також на правах оренди виступав за клуб «Горсенс». 13 вересня 2020 року Тенгстедт дебютував у чемпіонаті Данії.[1]
За результатами сезону «Горсенс» вилетів з Суперліги але сам Тенгстед залишився в команді, підписавши з клубом повноцінний контракт. У наступному сезоні у Першому дивізіоні Тенгстедт став кращим бомбардиром турніру.
Влітку 2022 року футболіст перейшов до норвезького «Русенборга»,[2] де зіграв до кінця сезону 14 ігор. В яких забив 15 голів і став кращим бормбардиром команди.
На початку 2023 року Тенгстедт перейшов до португальської «Бенфіки», підписавши з клубом контракт на п'ять років.[3] Вже у першому сезоні футболіст виграв чемпіонат Португалії. Також у складі португальського клубу футболіст дебютував у матчах Ліги чемпіонів у сезоні 2023/24.
Сезон 2024/25 футболіст почав у італійській «Вероні», куди перейшов на правах оренди.
