Від'ємна основа

Нега-позиційна система числення — це позиційна система числення з від'ємною основою. Особливістю таких систем є відсутність знака перед від'ємними числами, тобто відсутність правил знаків. Будь-яке число будь-якої з нега-позиційних систем, відмінне від 0, з непарним числом цифр — додатне, а з парним числом цифр — від'ємне. Часто число в нега-позиційній системі вимагає для запису на одну цифру більше, аніж те ж саме число в системі з позитивною основою. Зазвичай назва нега-позиційної системи складається з префікса нега- і назви відповідної системи числення з додатною основою;

Наприклад, нега-десяткова (b = -10), нега-трійкова (b = -3), нега-двійкова (b = -2) та інші.

Приклади

Нега-позиційний запис	Позиційний запис	Подання числа
174_(-10)	34₍₁₀₎	1·(-10)² + 7·(-10)¹ + 4·(-10)⁰ = 100 − 70 + 4 = 34
46_(-10)	−34₍₁₀₎	4·(-10)¹ + 6·(-10)⁰ = −40 + 6 = −34
11001_(-2)	1001₍₂₎	1·(-2)⁴ + 1·(-2)³ + 0·(-2)² + 0·(-2)¹ + 1·(-2)⁰ = 16 − 8 + 1 = 9

Історія

Нега-позиційні системи числення вперше були запропоновані Вітторіо Грюнвальдом^[en] у його роботі «Giornale di Matematiche di Battaglini» 23 (стор. 203—221), опублікованій в 1885 році. Грюнвальд описав алгоритми додавання, віднімання, множення, ділення, отримання кореня, ознак подільності й перетворення систем числення.

Використання

Число x у нега-позиційній системі числення з основою b = -r представляється у вигляді лінійної комбінації числа ступенів -r:

x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(-r)^{k}

, де

a_{k}

— це цілі числа, які називають цифрами ,що задовольняють нерівності

0\leq a_{k}<r

,де

k

— порядковий номер розряду починаючи з нульового, n — число розрядів.

Кожнен ступінь $(-r)^{k}$ у такому записі називається розрядом, старшинство розрядів і відповідних їм чисел визначається значенням показника $k$ . Зазвичай для ненульового числа $x$ вимагають, щоб старша цифра $a_{n-1}$ у b-річному поданні $x$ була також ненульова.

Нега-позиційні системи можна порівняти із знако-розрядними системами числення, такими як симетрична трійкова система, де основа системи додатна, однак цифри можуть приймати від'ємні значення з деякого проміжку.

Деякі числа мають одне й те ж саме подання в системах числення з основою $b$ і $-b$ (позиційних й відповідним їм нега-позиційних). Приміром, числа від 100 до 109 однаково записуються в десятковій і нега-десяткових системах числення. Аналогічно:

17=2^{4}+2^{0}=(-2)^{4}+(-2)^{0}

Тобто число 17 має однакове представлення в двійковій і нега-двійковій системах числення — $10001$ .

Подання чисел від -12 до 12 в різних системах числення:

Десяткове	Нега-десяткове	Двійкове	Нега-двійкове	Трійкове	Нега-трійкове
-12	28	-1100	110100	-110	1210
-11	29	-1011	110101	-102	1211
-10	10	-1010	1010	-101	1212
-9	11	-1001	1011	-100	1200
-8	12	-1000	1000	-22	1201
-7	13	-111	1001	-21	1202
-6	14	-110	1110	-20	20
-5	15	-101	1111	-12	21
-4	16	-100	1100	-11	22
-3	17	-11	1101	-10	10
-2	18	-10	10	-2	11
-1	19	-1	11	-1	12
0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1
2	2	10	110	2	2
3	3	11	111	10	120
4	4	100	100	11	121
5	5	101	101	12	122
6	6	110	11010	20	110
7	7	111	11011	21	111
8	8	1000	11000	22	112
9	9	1001	11001	100	100
10	190	1010	11110	101	101
11	191	1011	11111	102	102
12	192	1100	11100	110	220

Переклад в нега-позиційні системи

Нега-позиційне подання числа може бути отримано послідовними поділами з залишком вихідного числа $b=-r$ (тобто на основу нега-позиційної системи) і записом поспіль залишків починаючи з останнього. Зауважимо, що якщо $a/b=c$ , із залишком $d$ , то $bc+d=a$ . Приклад перекладу в нега-трійкову систему:

{\begin{aligned}146&~/~-3=&-48,&~~~d=2\\-48&~/~-3=&16,&~~~d=0\\16&~/~-3=&-5,&~~~d=1\\-5&~/~-3=&2,&~~~d=1\\2&~/~-3=&0,&~~~d=2\\\end{aligned}}

Отже, нега-трійковим поданням числа 146₍₁₀₎ є число 21102_(-3).

Реалізація на C#:

static string negaternary(int value)
{
	string result = string.Empty;
	while (value != 0)
	{
		int remainder = value % -3;
		value = value / -3;
		if (remainder < 0)
		{
			remainder += 3;
			value += 1;
		}
		result = remainder.ToString() + result;
	}
	return result;
}

Дроби

Арифметичні операції

Додавання

Додавання стовпчиком треба робити як і в звичайній системі, наприклад, якщо ви хочете скласти в нега-десятковій системі числення, то це треба робити як і в десятковій системі числення. Але з одним винятком: якщо при додаванні в будь-якому розряді виходить число не менше 10, то в цей розряд потрібно записати число одиниць отриманого числа, а з сусіднього зліва розряду – відняти одиницю. Якщо зліва немає розряду, то приписати зліва 19 (для нега-десяткової, для нега-трійкової – 12, для нега-двійковій – 11). Наприклад (нега-десяткова система):

5+7=12, 2 в розряд одиниць, з сусіднього зліва віднімаємо одиницю. 8+5=13, 3 розряд мінус тисяч, з сусіднього зліва віднімаємо одиницю.

2+9=11, 1 в розряд одиниць, від сусіднього зліва віднімаємо одиницю. 6+4=10, 0 в розряд мінус десятків, сусіднього зліва — немає, приписуємо зліва 19.

Віднімання

Віднімання стовпчиком треба робити як і в звичайній системі, наприклад, якщо ви хочете відняти у нега-десятковій системі числення, то це треба робити як і в десятковій системі числення. Але з одним винятком: якщо при відніманні в якому-небудь розряді треба зайняти десяток, то ви це робите, але з сусіднього зліва розряду ви не віднімаєте одиницю, а, навпаки, додаєте її туди. Якщо зліва немає розряду, то приписати зліва 1. Наприклад (нега-десяткова система):

2-9 не можна, займаємо одиницю. 12-9=3, 3 в розряд одиниць, до сусіднього зліва розряду додаємо одиницю. 6-3=3.

2-9 не можна, займаємо одиницю. 12-9=3, 3 в розряд одиниць, сусіднього зліва розряду немає, тому приписуємо зліва 1.

Множення

Таблиця множення

Таблиця множення в нега-двійковій системі числення

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Таблиця множення в нега-трійковій системі числення

х	1	2
2	2	121
1	1	2
0	0	0

Таблиця множення в нега-десятковій системі числення

1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	190	192	194	196	198
3	6	9	192	195	198	181	184	187
4	8	192	196	180	184	188	172	176
5	190	195	180	185	170	175	160	165
6	192	198	184	170	176	162	168	154
7	194	181	188	175	162	169	156	143
8	196	184	172	160	168	156	144	132
9	198	187	176	165	154	143	132	121