Trigonometrik fonksiyonların integralleri

Aşağıda integrallerin (ters türevlerin) bir listesi verilmiştir. trigonometrik fonksiyonların fonksiyonları). Hem üstel hem de trigonometrik fonksiyonları içeren ters türevler için Üstel fonksiyonların integralleri bölümüne bakınız. Ters türev fonksiyonların tam listesi için İntegrallerin listesi bölümüne bakınız. Trigonometrik fonksiyonları içeren özel ters türevler için Trigonometrik integral bölümüne bakınız.^[1]

Genel olarak, eğer ${\displaystyle \sin x}$ fonksiyonu herhangi bir trigonometrik fonksiyon ise ve ${\displaystyle \cos x}$ onun türevi ise,

$${\displaystyle \int a\cos nx\,dx={\frac {a}{n}}\sin nx+C}$$

Tüm formüllerde a sabitinin sıfır olmadığı varsayılır ve C integral sabiti anlamına gelir.

Sadece sinüs içeren integraller

${\displaystyle \int \sin ax\,dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{3}{ax}\,dx={\frac {\cos 3ax}{12a}}-{\frac {3\cos ax}{4a}}+C}$

${\displaystyle \int x\sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x}{4a}}\sin 2ax-{\frac {1}{8a^{2}}}\cos 2ax+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{3}}{6}}-\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax-{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C}$

${\displaystyle \int x\sin ax\,dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C}$

${\displaystyle \int (\sin b_{1}x)(\sin b_{2}x)\,dx={\frac {\sin((b_{2}-b_{1})x)}{2(b_{2}-b_{1})}}-{\frac {\sin((b_{1}+b_{2})x)}{2(b_{1}+b_{2})}}+C\qquad {\mbox{(}}|b_{1}|\neq |b_{2}|{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax}}=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\sin ax\,dx&=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\,dx\\&=\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k+1}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\sin ax\\&=-\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cos \left(ax+k{\frac {\pi }{2}}\right)\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}\,dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}\,dx}$

${\displaystyle \int {\sin {\mathrm {(} }{ax}^{2}\mathrm {+} {bx}\mathrm {+} {c}{\mathrm {)} }{dx}}\mathrm {=} \left\{{\begin{aligned}&{{\sqrt {a}}{\sqrt {\frac {\mathit {\pi }}{2}}}\cos \left({\frac {{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}}{4a}}\right){S}\left({\frac {{2}{ax}\mathrm {+} {b}}{\sqrt {{2}{a}{\mathit {\pi }}}}}\right)\mathrm {+} {\sqrt {a}}{\sqrt {\frac {\mathit {\pi }}{2}}}\sin \left({\frac {{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}}{4a}}\right){C}\left({\frac {{2}{ax}\mathrm {+} {b}}{\sqrt {{2}{a}{\mathit {\pi }}}}}\right)\;{to}\;{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}\;{\mathrm {>} }\;{0}}\\&{{\sqrt {a}}{\sqrt {\frac {\mathit {\pi }}{2}}}\cos \left({\frac {{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}}{4a}}\right){S}\left({\frac {{2}{ax}\mathrm {+} {b}}{\sqrt {{2}{a}{\mathit {\pi }}}}}\right)\mathrm {-} {\sqrt {a}}{\sqrt {\frac {\mathit {\pi }}{2}}}\sin \left({\frac {{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}}{4a}}\right){C}\left({\frac {{2}{ax}\mathrm {+} {b}}{\sqrt {{2}{a}{\mathit {\pi }}}}}\right)\;{to}\;{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}\;{\mathrm {<} }\;{0}}\end{aligned}}\right.\;\;{}\;{a}\diagup \!\!\!\!{\mathrm {=} }{0}{\mathrm {,} }\;{a}{\mathrm {>} }{0}{\mbox{ için}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C}$

Sadece kosinüs içeren integraller

${\displaystyle \int \cos ax\,dx={\frac {1}{a}}\sin ax+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}{ax}\,dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}ax\,dx={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int x\cos ax\,dx={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\cos ax\,dx&={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\,dx\\&=\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\sin ax\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{\lfloor k/2\rfloor }{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cos \left(ax-{\frac {(-1)^{k}+1}{2}}{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\sin \left(ax+k{\frac {\pi }{2}}\right)\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}\,dx=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}\,dx=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}\,dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int (\cos a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx={\frac {\sin((a_{2}-a_{1})x)}{2(a_{2}-a_{1})}}+{\frac {\sin((a_{2}+a_{1})x)}{2(a_{2}+a_{1})}}+C\qquad {\mbox{(}}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{ için)}}}$

Sadece tanjant içeren integraller

${\displaystyle \int \tan ax\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C}$

${\displaystyle \int \tan ^{2}{x}\,dx=\tan {x}-x+C}$

${\displaystyle \int \tan ^{n}ax\,dx={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\mbox{(}}p^{2}+q^{2}\neq 0{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax\pm 1}}=\pm {\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax\pm \cos ax|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax\pm 1}}={\frac {x}{2}}\mp {\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax\pm \cos ax|+C}$

Sadece sekant içeren integraller

${\displaystyle \int \sec {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\tan {\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}\right|}+C={\frac {1}{a}}\operatorname {artanh} {\left(\sin {ax}\right)}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\,dx=\tan {x}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{3}{x}\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C.}$

${\displaystyle \int \sec ^{n}{ax}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{ax}\tan {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}-1}}=-x-\cot {\frac {x}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}=\int \tan {x}}$

Sadece kosekant içeren integraller

${\displaystyle \int \csc {ax}\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}-\cot {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\tan {\left({\frac {ax}{2}}\right)}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{3}{x}\,dx=-{\frac {1}{2}}\csc x\cot x-{\frac {1}{2}}\ln |\csc x+\cot x|+C=-{\frac {1}{2}}\csc x\cot x+{\frac {1}{2}}\ln |\csc x-\cot x|+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\csc ^{n-2}{ax}\cot {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\csc {x}+1}}=x-{\frac {2}{\cot {\frac {x}{2}}+1}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\csc {x}-1}}=-x+{\frac {2}{\cot {\frac {x}{2}}-1}}+C}$

Sadece kotanjant içeren integraller

${\displaystyle \int \cot ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C}$

${\displaystyle \int \cot ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}-x+C}$

${\displaystyle \int \cot ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C}$

Sinüs ve kosinüsü birlikte içeren integraller

Sinüs ve kosinüsün rasyonel bir fonksiyonu olan bir integral, Bioche kuralları kullanılarak değerlendirilebilir.

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{2(n-1)}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}+(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{2a}}\sin ^{2}ax+C}$

${\displaystyle \int (\sin a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx=-{\frac {\cos((a_{1}-a_{2})x)}{2(a_{1}-a_{2})}}-{\frac {\cos((a_{1}+a_{2})x)}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(}}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int (\sin ^{n}ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ^{n}ax)\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx&=-{\frac {(\sin ^{n-1}ax)(\cos ^{m+1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int (\sin ^{n-2}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx\qquad {\mbox{(}}m,n>0{\mbox{ için)}}\\&={\frac {(\sin ^{n+1}ax)(\cos ^{m-1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m-2}ax)\,dx\qquad {\mbox{(}}m,n>0{\mbox{ için)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ax)}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n}ax)}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n-2}ax)}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ^{n}ax)(\cos ax)}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ^{n-2}ax)(\cos ax)}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}}\,dx&={\sqrt {2}}\operatorname {arctangant} \left({\frac {\tan x}{\sqrt {2}}}\right)-x\qquad {\mbox{( }}]-{\frac {\pi }{2}};+{\frac {\pi }{2}}[{\mbox{ aralığındaki x için)}}\\&={\sqrt {2}}\operatorname {arctangant} \left({\frac {\tan x}{\sqrt {2}}}\right)-\operatorname {arctangant} \left(\tan x\right)\qquad {\mbox{(bu sefer x, herhangi bir reel sayı olmak üzere}}{\mbox{)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{ için)}}\\{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{ için)}}\\-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}&{\mbox{(}}m\neq n{\mbox{ için)}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\\-{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{ için)}}\\{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}&{\mbox{(}}m\neq n{\mbox{ için)}}\end{cases}}}$

Sinüs ve tanjantı birlikte içeren integraller

${\displaystyle \int (\sin ax)(\tan ax)\,dx={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

Kosinüs ve tanjantı birlikte içeren integraller

${\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{ için)}}}$

Sinüs ve kotanjantı birlikte içeren integraller

${\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{ için)}}}$

Kosinüs ve kotanjantı birlikte içeren integraller

${\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

Sekant ve tanjantı birlikte içeren integraller

${\displaystyle \int (\sec x)(\tan x)\,dx=\sec x+C}$

Kosekant ve kotanjantı birlikte içeren integraller

${\displaystyle \int (\csc x)(\cot x)\,dx=-\csc x+C}$

Tanjant ve kotanjantı birlikte içeren integraller

${\displaystyle \int {\frac {\tan ^{m}(cx)}{\cot ^{n}(cx)}}\;dx={\frac {1}{c(m+n-1)}}\tan ^{m+n-1}(cx)-\int {\frac {\tan ^{m-2}(cx)}{\cot ^{n}(cx)}}\;dx\qquad {\mbox{(}}m+n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!}$

Bir çeyrek periyotta integraller

Beta fonksiyonunu kullanarak ${\displaystyle B(a,b)}$ yazılabilir:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {1}{2}}B\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}},&{\text{ }}n{\text{ çift ise}}\\{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}},&{\text{ }}n{\text{ tek ve 1'den fazla ise}}\\1,&{\text{ }}n=1{\text{ ise}}\end{cases}}}$

Simetrik sınırlar altında integraller

${\displaystyle \int _{-c}^{c}\sin {x}\,dx=0}$

${\displaystyle \int _{-c}^{c}\cos {x}\,dx=2\int _{0}^{c}\cos {x}\,dx=2\int _{-c}^{0}\cos {x}\,dx=2\sin {c}}$

${\displaystyle \int _{-c}^{c}\tan {x}\,dx=0}$

${\displaystyle \int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\,dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=1,3,5...{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\,dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6(-1)^{n})}{24n^{2}\pi ^{2}}}={\frac {a^{3}}{24}}(1-6{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}\pi ^{2}}})\qquad {\mbox{(}}n=1,2,3,...{\mbox{ için)}}}$

Tam çember üzerinde integral

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin ^{2m+1}{x}\cos ^{n}{x}\,dx=0\!\qquad n,m\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin ^{m}{x}\cos ^{2n+1}{x}\,dx=0\!\qquad n,m\in \mathbb {Z} }$

Ayrıca bakınız

• Trigonometrik integral

Kaynakça

1. Bresock, Krista (1 Ocak 2022). "Student Understanding of the Definite Integral When Solving Calculus Volume Problems". Graduate Theses, Dissertations, and Problem Reports. doi:10.33915/etd.11491. 2 Ağustos 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Eylül 2024. 

• Milton Abramowitz ve Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. Birkaç integral bu kitapta 69. sayfada16 Şubat 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. listelenmiştir.