Robbins'in annesi Christine ve babası William J. Robbins botanik profesörleriydi. Kendisi erkenden tıp okumaya karar verip liseyi bitirdikten sonra Missouri Üniversitesi'nde okumaya başladı. 1938 yılında bachelor ve degree yaptıktan sonra Harvard Üniversitesi'nde eğitimine devam etti. 1940 yılında Boston'da bulunan bir çocuk hastanesinde bakteriyolojist olarak çalışmaya başladı. Evlilikten sonra hastanede çalışmayı bıraktı ve John Franklin Enders ve Thomas Huckle Weller ile beraber bulaşıcı hastalıklar üzerine araştırmalar yaptı. Çocuk felcine karşı buldukları aşı için 1954 yılında Nobel Fizyoloji veya Tıp Ödülünü aldılar.
