Çarpım fonksiyonu

Çarpım fonksiyonu, sayılar teorisinde bir f(n) aritmetik fonksiyonudur. Bu fonksiyon, tanım kümesindeki her x ve y çifti için çarpma işlemini koruyan fonksiyondur.^[1][2][3]

${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$

Bazı örnekler

• 1(n): sabit fonksiyon, 1(n) tanımlı = 1 (tam çarpım)
• Id(n): birim fonksiyon, Id(n) = n tanımlı (tam çarpım)
• Id_k(n): kompleks sayı k için Id_k(n) = n^k tanımlı (tam çarpım). Özel örnekler;
  • Id₀(n) = 1(n) ve
  • Id₁(n) = Id(n).
• ε(n): ε(n) = 1 tanımlı. (tam çarpım). Bazen u(n) olarak yazılır, fakat μ ile karıştırılmamalıdır.
• gcd(n,k): n ve k nın ortak böleni.
• ${\displaystyle \varphi }$(n): Totient fonksiyon.
• μ(n): Mobius fonksiyon.
  • σ₀(n) = d(n), n pozitif bölen
  • σ₁(n) = σ(n) n pozitif bölen
• a(n): isomorfik olmayan n için
• λ(n): liouville fonksiyon, λ(n) = (−1)^Ω(n) (tam çarpım).
• γ(n): = (−1)^ω(n) tanımlı.
• τ(n): ramanujan tau fonksiyonu.

Özellikler

Bir çarpma foksiyonu, aritmetiğin temel teoreminin bir sonucu olarak asal sayıların değerine göre tanımlanır. Çarpma fonksiyonlarının bu özelliği hesaplamalarda büyük kolaylık sağlar.^[4][5] Aşağıda n = 144 = 2⁴ · 3² için örnekler yer almaktadır;

d(144) = σ₀(144) = σ₀(2⁴)σ₀(3²) = (1⁰ + 2⁰ + 4⁰ + 8⁰ + 16⁰)(1⁰ + 3⁰ + 9⁰) = 5 · 3 = 15,

σ(144) = σ₁(144) = σ₁(2⁴)σ₁(3²) = (1¹ + 2¹ + 4¹ + 8¹ + 16¹)(1¹ + 3¹ + 9¹) = 31 · 13 = 403,

σ^*(144) = σ^*(2⁴)σ^*(3²) = (1¹ + 16¹)(1¹ + 9¹) = 17 · 10 = 170.

Benzer olarak;

${\displaystyle \varphi }$(144)=${\displaystyle \varphi }$(2⁴)${\displaystyle \varphi }$(3²) = 8 · 6 = 48

Bazı konvolüsyonlar

• μ * 1 = ε
• (μ Id_k) * Id_k = ε
• ${\displaystyle \varphi }$ * 1 = Id
• d = 1 * 1
• σ = Id * 1 = ${\displaystyle \varphi }$ * d
• σ_k = Id_k * 1
• Id = ${\displaystyle \varphi }$ * 1 = σ * μ
• Id_k = σ_k * μ

Dirichlet serisinde bazı çarpma fonksiyonları

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$

Ayrıca bakınız

• Bell serisi

Kaynakça

1. Introduction to Linear Algebra. 5th ed. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, February 2016. ISBN 9780980232776.
2. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — s. 703 — ISBN 5-03-001793-3.
3. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres, Vuibert-Springer, 2007, ISBN 978-2-7117-7168-4, s. 320.
4. Pete L. Clark, Arithmetical Functions I: Multiplicative Functions 15 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce), sur UGA, MATH 4400, 2011.
5. Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics 20 Haziran 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce), New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Erişim tarihi: 8 Ocak 2016.

Konuyla ilgili yayınlar

• Martinez, Fabio B., et al; Projeto Euclides: Teoria dos Números - um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro, Rio de Janeiro: IMPA, 2010
• Santos, José P. de O.; Coleção Matemática Universitária: Introdução à Teoria dos Números, Rio de Janeiro: IMPA, 2006
• Tom Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9
• Daboussi, H., & Delange, H. (1982). On multiplicative arithmetical functions whose modulus does not exceed one. Journal of the London Mathematical Society, 2(2), 245-264.

Dış bağlantılar

• Multiplicative function - Planetmath.org 9 Ocak 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce)
• Mathworld.wolfram.com - Multiplicative function15 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce)