* Antal matcher och mål i seniorlag räknas endast för de inhemska ligorna och är korrekt per den 8 juli 2023. ** Antal landskamper och mål är korrekta per den 8 juli 2023.
Koch började spela fotboll i 1. FC Kaiserslautern som femåring.[2] Därefter flyttade han med sin familj till Dörbach och började 2003 spela för SV Dörbach. 2009 gick Koch vidare till Eintracht Trier,[2] där han sedermera blev uppflyttad i A-laget under säsongen 2014/2015. Den 22 september 2014 debuterade Koch i en match mot TuS Koblenz i Regionalliga,[3] och han etablerade sig därefter som en startspelare för Eintracht Trier.
Efter säsongen återvände Koch till 1. FC Kaiserslautern, där det inledningsvis blev spel för reservlaget i Regionalliga. I september 2016 skrev han på sitt första professionella kontrakt, ett kontrakt med löptid fram till 2019.[4] Kort därefter, den 2 oktober 2016, debuterade Koch för A-laget i 2. Bundesliga mot Arminia Bielefeld.[5]
I augusti 2017 värvades Koch av SC Freiburg som betalade cirka 3,5 miljoner euro.[6] Koch gjorde sin Bundesliga-debut den 22 oktober 2017 i en 1–1-match mot Hertha Berlin, där han blev inbytt i den 85:e minuten mot Philipp Lienhart.[7] Koch gjorde sitt första mål för Freiburg den 13 januari 2018 i en 1–1-match mot Eintracht Frankfurt.[8]
Den 12 oktober 2018 debuterade Koch för Tysklands U21-landslag i en 2–1-vinst över Norge, där han blev inbytt i den 73:e minuten mot Eduard Löwen.[11] Den 7 oktober 2019 blev Koch för första gången uttagen i Tysklands A-landslag till en vänskapsmatch mot Argentina samt en EM-kvalmatch mot Estland.[12][1] Två dagar senare debuterade han som startspelare i matchen mot Argentina som slutade 2–2.[13][14]
