Studentova t-porazdelitev

Student's t

Gostota verjetnosti
Zbirna funkcija verjetnosti
parametri	${\displaystyle \nu >0}$ prostostne stopnje (realno število)
Interval	${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$
gostota verjetnosti (pdf)	${\displaystyle \textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}$$ where 2F1 is the hipergeometrična funkcija
pričakovana vrednost	0 for ${\displaystyle \nu >1}$, drugje je nedefinirana
mediana	0
modus	0
varianca	${\displaystyle \textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$ for ${\displaystyle \nu >2}$, ∞ for ${\displaystyle 1<\nu \leq 2}$, drugje je nedefinirana
nesimetričnost	0 for ${\displaystyle \nu >3}$, drugje je nedefinirana
sploščenost	${\displaystyle \textstyle {\frac {6}{\nu -4}}}$ for ${\displaystyle \nu >4}$, ∞ for ${\displaystyle 2<\nu \leq 4}$, drugje je nedefinirana
entropija	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{matrix}}}$ ψ: funkcija digama, B: funkcija beta
funkcija generiranja momentov (mgf)	ni definirana
karakteristična funkcija	${\displaystyle \textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}}$ for ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle K_{\nu }(x)}$: modificirana Besselova funkcija[1]

Studentova t-porazdelitev (tudi t-porazdelitev ali Študentova t-porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev.

Studentovo t-porazdelitev je odkril William Sealy Gosset (1876–1937) v letu 1908. Njeno odkritje je objavil pod psevdonimom Student (študent). Gosset je bil pivovar v pivovarni pri Guinnessu. Porazdelitev je odkril med raziskavo vpliva kvasovk na kakovost piva. Pozneje je ameriški statistik in ekonomski teoretik Harold Hotelling (1895 – 1973) razvil t porazdelitev. Ime porazdelitve pa je ostalo.

Definicija

Studentova t-porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

${\displaystyle {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu \ }}}=Z{\sqrt {\nu /V}}}$

kjer ima

• ${\displaystyle Z\!}$ normalno porazdelitev s pričakovano vrednostjo ${\displaystyle 0\!}$ in varianco ${\displaystyle 1\!}$
• ${\displaystyle V\!}$ ima porazdelitev hi-kvadrat z ${\displaystyle \nu \!}$ prostostnimi stopnjami
• ${\displaystyle Z\!}$ and ${\displaystyle V\!}$ sta statistično neodvisni slučajni spremenljivki.

Lastnosti t porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za t porazdelitev je

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!}$.

kjer je

• ${\displaystyle \Gamma (z)\!}$ funkcija gama.
• ${\displaystyle \nu }$ so prostostne stopnje porazdelitve

Kadar je ${\displaystyle \nu }$ parno (sodo) število je funkcija gostote verjetnosti enaka

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots (5)(3)}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots (4)(2)\,}}.}$

Kadar pa je ${\displaystyle \nu }$ neparno število (liho) pa je funkcija gostote verjetnosti enaka

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots (4)(2)}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots (5)(3)\,}}.\!}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}}$

kjer je

• ${\displaystyle _{2}F_{1}\!}$ hipergeometrična funkcija
• ${\displaystyle \Gamma (z)\!}$ funkcija gama.

Zbirno funkcijo verjetnosti pa lahko izrazimo tudi s pomočjo nepopolne funkcije beta:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=I_{x}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {B\left(x;{\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}{B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}}$

kjer je

• ${\displaystyle x={\frac {t+{\sqrt {t^{2}+\nu }}}{2{\sqrt {t^{2}+\nu }}}}.}$.
• ${\displaystyle B(x,a,b)\!}$ nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

${\displaystyle 0{\text{ za }}\nu >1\!}$

drugje je nedefinirana.

Varianca

Varianca je enaka

${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ za vrednosti }}\nu >2\!}$,
${\displaystyle \infty \!}$ za ${\displaystyle 1<\nu \leq 2}$,
drugje je nedefinirana.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}{\text{ za }}\nu >4\!}$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Slučajna spremenljivka ${\displaystyle Y\!}$ ima F porazdelitev ${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=\nu )\!}$ kadar je ${\displaystyle Y=X^{2}\!}$ in ima slučajna spremenljivka ${\displaystyle X\!}$ Studentovo t-porazdelitev ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (\nu )\!}$.

• Slučajna spremenljivka ${\displaystyle Y\!}$ ima normalno porazdelitev ${\displaystyle Y\sim \mathrm {N} (0,1)\!}$, ko velja ${\displaystyle Y=\lim _{\nu \to \infty }X}$ in ima slučajna spremenljivka ${\displaystyle X\!}$ t porazdelitev ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (\nu )\!}$.

• Slučajna spremenljivka ${\displaystyle X\!}$ ima Cauchyjevo porazdelitev ${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,1)\!}$, kadar ima ${\displaystyle X\!}$ t porazdelitev ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (\nu =1)\!}$.

Opombe in sklici

1. Hurst, Simon. »The Characteristic Function of the Student t Distribution«. Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 18. februarja 2010.

Zunanje povezave

• Studentova t-porazdelitev na MathWorld (angleško)
• Opis Studentove t-porazdelitve Arhivirano 2016-03-04 na Wayback Machine. (angleško)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev