Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti ali porazdelitvena funkcija (oznaka cdf iz cumulative distribution function) je v verjetnostnem računu funkcija, ki opisuje verjetnostno porazdelitev realne slučajne spremenljivke X. Označuje se jo z ${\displaystyle \mathbf {F(x)} \,}$.

Za realno število je zbirna porazdelitvena funkcija določena z:

${\displaystyle x\mapsto F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)\!\,,}$

kjer ${\displaystyle \mathbf {X\leq x} }$ pomeni verjetnost, da slučajna spremenljivka zavzame vrednost, ki je manjša ali enaka vrednosti x. Verjetnost, da slučajna spremenljivka leži v intervalu (a, b] je torej enaka:

${\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)\!\,}$, če je ${\displaystyle a<b\!\,}$.

Z uporabo gostote verjetnosti ${\displaystyle f(t)\!}$ se lahko zapiše:

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\!\,.}$

Značilnosti pri diskretni spremenljivki

Če je X diskretna slučajna spremenljivka, ki lahko zavzame vrednosti x₁, x₂, x₃, ... z verjetnostmi p₁ = P(x ₁), potem ima funkcija nezveznosti v točkah x_j in je konstantna med vrednostmi:

${\displaystyle F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i})\!\,.}$

Značilnosti pri zvezni sprememnljivki

Kadar je spremenljivka X zvezna slučajna spremenljivka, je tudi F absolutno zvezna in obstaja po Lebesguu integrabilna funkcija f(x) tako, da je:

${\displaystyle F(b)-F(a)=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\!\,.}$

Verjetnost, da spremenljivka X zavzame točno vrednost b, se lahko določi z:

${\displaystyle \operatorname {P} (X=b)=F(b)-\lim _{x\to b^{-}}F(x)\!\,.}$