Сферический треугольник Эксцесс сферического треугольника , или сферический избыток , — величина в сферической тригонометрии , показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол .
Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс
ε ε -->
=
A
+
B
+
C
− − -->
π π -->
{\displaystyle \varepsilon =A+B+C-\pi }
Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числа[ 1] :15 .
Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула Люилье [ 1] :94 :
tg
-->
ε ε -->
4
=
tg
-->
p
2
tg
-->
p
− − -->
a
2
tg
-->
p
− − -->
b
2
tg
-->
p
− − -->
c
2
,
p
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\varepsilon }{4}}={\sqrt {\operatorname {tg} {\frac {p}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-a}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-b}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-c}{2}}}},p={\frac {a+b+c}{2}}}
Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формула[ 1] :95 :
ctg
-->
ε ε -->
2
=
ctg
-->
a
2
ctg
-->
b
2
+
cos
-->
C
sin
-->
C
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\varepsilon }{2}}={\frac {\operatorname {ctg} {\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {b}{2}}+\cos C}{\sin C}}}
Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку
S
=
R
2
ε ε -->
{\displaystyle S=R^{2}\varepsilon }
R
{\displaystyle R}
[ 1] :99 .
Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы
θ θ -->
a
,
θ θ -->
b
,
θ θ -->
c
{\displaystyle \theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}}
Ω Ω -->
=
4
arctg
-->
tg
-->
(
θ θ -->
s
2
)
tg
-->
(
θ θ -->
s
− − -->
θ θ -->
a
2
)
tg
-->
(
θ θ -->
s
− − -->
θ θ -->
b
2
)
tg
-->
(
θ θ -->
s
− − -->
θ θ -->
c
2
)
{\displaystyle \Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}
θ θ -->
s
=
θ θ -->
a
+
θ θ -->
b
+
θ θ -->
c
2
{\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}
Через двугранные углы
α α -->
,
β β -->
,
γ γ -->
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
Ω Ω -->
=
α α -->
+
β β -->
+
γ γ -->
− − -->
π π -->
{\displaystyle \Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi }
↑ 1 2 3 4 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М. —Л. : ОГИЗ , 1948. — 154 с.
Ссылки на внешние ресурсы
Основные понятия Формулы и соотношения Связанные темы
