Радиан

Радиан
рад
1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности
Величина	величина угла
Система	СИ
Тип	основная
Медиафайлы на Викискладе

Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображённые на диаграммах, — правильные

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — центральный угол, соответствующий дуге окружности, длина которой равна радиусу^[1] этой окружности. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС^[2].

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану^[3]. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа).

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла^[4][5].

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом^[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная^[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad^[8].

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду^[9].

Кратные и дольные единицы

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные				Дольные
величина	название	обозначение		величина	название	обозначение
10^1 рад	декарадиан	дарад	darad	10^−1 рад	децирадиан	драд	drad
10^2 рад	гекторадиан	град	hrad	10^−2 рад	сантирадиан	срад	crad
10^3 рад	килорадиан	крад	krad	10^−3 рад	миллирадиан	мрад	mrad
10^6 рад	мегарадиан	Мрад	Mrad	10^−6 рад	микрорадиан	мкрад	µrad
10^9 рад	гигарадиан	Град	Grad	10^−9 рад	нанорадиан	нрад	nrad
10^12 рад	терарадиан	Трад	Trad	10^−12 рад	пикорадиан	прад	prad
10^15 рад	петарадиан	Прад	Prad	10^−15 рад	фемторадиан	фрад	frad
10^18 рад	эксарадиан	Эрад	Erad	10^−18 рад	атторадиан	арад	arad
10^21 рад	зеттарадиан	Зрад	Zrad	10^−21 рад	зепторадиан	зрад	zrad
10^24 рад	йоттарадиан	Ирад	Yrad	10^−24 рад	иокторадиан	ирад	yrad
10^27 рад	роннарадиан	Рнрад	Rrad	10^−27 рад	ронторадиан	рнрад	rrad
10^30 рад	кветтарадиан	Кврад	Qrad	10^−30 рад	квекторадиан	кврад	qrad
рекомендовано к применению  применять не рекомендуется  не применяются или редко применяются на практике

Связь радиана с другими единицами

Угол в 1 радиан.

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

• 1 радиан = 1/(2π) оборотов = 180/π градусов = 200/π градов.

Очевидно, развернутый угол равен ${\displaystyle 180^{\circ },}$ или ${\displaystyle {\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi }$ радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π),

α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.

1 рад (или ${\displaystyle \rho ^{\circ }}$) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''}$(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

${\displaystyle \rho '}$ (или 1 рад в минутах) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'}$

${\displaystyle \rho ''}$ (или 1 рад в секундах) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.}$

Номограмма для перевода радианы/градусы.

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
${\displaystyle \rho _{\prime \prime }}$ (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = ${\displaystyle {\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}\approx 636620.}$
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа (${\displaystyle \mathrm {rad} }$) делаем именованное (${\displaystyle \rho ^{\circ },\rho ',\rho ''}$) и поэтому должны множить на ${\displaystyle \rho ^{\circ }~(}$или ${\displaystyle \rho ',\rho '')}$;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на ${\displaystyle \rho ^{\circ }~(}$или ${\displaystyle \rho ',\rho ''),}$ либо же умножать на перевёрнутую дробь ${\displaystyle {\frac {1}{\rho ^{\circ }}}~({\frac {1}{\rho '}},{\frac {1}{\rho ''}}).}$

Пример 1. Перевести в радианы ${\displaystyle 5^{\circ }43'46''.}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {\rho ^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}}$^[10]

${\displaystyle 43'={\frac {43'}{\rho '}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}}$^[10]

${\displaystyle 46''={\frac {46''}{\rho ''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}}$^[10]

${\displaystyle \sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad} }$^[10] ${\displaystyle =0{,}1~\mathrm {rad} }$

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на ${\displaystyle \rho ^{\circ }:}$ (как правило, этот способ более точен)

${\displaystyle 46''={\frac {46''}{60''}}=0{,}{\boldsymbol {77}}'}$

${\displaystyle 43{,}{\boldsymbol {77}}'={\frac {43{,}77'}{60'}}=0{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }}$

${\displaystyle \sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }}$

${\displaystyle 5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\rho ^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad} }$

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

${\displaystyle a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }}$

${\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'}$

${\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\approx 45''}$

Итого ${\displaystyle \approx 57^{\circ }17'45''.}$

Таблица градусов, радиан и град

Таблица углов^[11]

Угол, в долях от полного	Градусы	Радианы	Грады	Синус	Косинус	Тангенс
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 50^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {5}{24}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 100^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	не определён
${\displaystyle {\frac {7}{24}}}$	${\displaystyle 105^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{12}}}$	${\displaystyle 116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle -2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle 133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$	${\displaystyle 135^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle 150^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$	${\displaystyle 150^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$	${\displaystyle 166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {11}{24}}}$	${\displaystyle 165^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}$	${\displaystyle 183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle -2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 200^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {7}{12}}}$	${\displaystyle 210^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}$	${\displaystyle 233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}$	${\displaystyle 225^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}$	${\displaystyle 250^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle 240^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$	${\displaystyle 266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 300^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	не определён
${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$	${\displaystyle 300^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}$	${\displaystyle 333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {7}{8}}}$	${\displaystyle 315^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}$	${\displaystyle 350^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\frac {11}{12}}}$	${\displaystyle 330^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}$	${\displaystyle 366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 400^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее ${\displaystyle 0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)}$, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше ${\displaystyle 0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)}$, — то до шестого знака после запятой^[12]:

${\displaystyle \sin \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha \approx \alpha .}$

История

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной^[13]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы^[14].

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»^[15][16][17].

См. также

• Град, минута, секунда
• Градус, минута, секунда
• Оборот (единица измерения)
• Парсек
• Стерадиан
• Тысячная (угол)

Примечания

1. Радиан // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. Архивировано 21 января 2022 года.
2. Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
3. Выгодский, 1965.
4. Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002.
5. David E. Joyce. Measurement of Angles (англ.). Dave's Short Trig Course. Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. Архивировано 7 сентября 2015 года.
6. Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 28 июля 2012 года.
7. Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
8. ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин.  (неопр.) Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано из оригинала 10 ноября 2012 года.
9. Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 7 октября 2014 года.
10. Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
11. Abramowitz & Stegun, 1972, p. 74, 4.3.46.
12.  ${\displaystyle \sin 5^{\circ }43'{,}77=0{,}0998\approx 0{,}100}$

    ${\displaystyle \operatorname {tg} 5^{\circ }43'{,}77=0{,}1003\approx 0{,}100}$ (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)

    ${\displaystyle \sin 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0099998\approx 0{,}010000}$

    ${\displaystyle \operatorname {tg} 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0100003\approx 0{,}010000}$ (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
    Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы ${\displaystyle 5^{\circ }43'{,}77~(\approx 5^{\circ }43'46'')}$ и ${\displaystyle 0^{\circ }34'{,}38~(\approx 0^{\circ }34'23'')}$; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.)

13. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. Biography of Roger Cotes  (неопр.). The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. Архивировано 24 сентября 2012 года.
14. Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — S. 40.
15. Florian Cajori. History of Mathematical Notations (неопр.). — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — ISBN 0-486-67766-4.
16. Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2110. — P. 156. — doi:10.1038/083156a0. — Bibcode: 1910Natur..83..156M.Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2112. — P. 217. — doi:10.1038/083217c0. — Bibcode: 1910Natur..83..217T.Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2120. — P. 459—460. — doi:10.1038/083459d0. — Bibcode: 1910Natur..83..459M.
17. Miller, Jeff. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics  (неопр.) (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. Архивировано 18 января 2021 года.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A.  (англ.). — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4.