Число половинной точности

Число́ полови́нной то́чности (англ. half precision) — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину компьютерного слова (в случае 32-битного компьютера — 16 бит или 2 байта). Диапазон значений ± 2⁻²⁴(5.96E-8) — 65504. Приблизительная точность — 3 знака (10 двоичных знаков, log₁₀(2¹¹)).

Знак
	Экспо- нента					Мантисса
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
15				8				7				0

Кодирование поля Exponent

Числа half-precision binary floating-point кодируют поле Exponent с использованием сдвига (bias) на 15.

E_min = 00001₂ − 01111₂ = −14
E_max = 11110₂ − 01111₂ = 15
Exponent bias = 01111₂ = 15

Другими словами, для получения настоящего порядка (для Exponent от 00001₂ до 11110₂) надо из закодированного поля Exponent вычесть 15 (т.е. 01111₂).

С помощью значений 00000₂ и 11111₂ поля Exponent кодируют специальные случаи.

Exponent	Significand zero	Significand non-zero	Equation
00000₂	+0 , −0	число subnormal	(−1)^signbit × 2⁻¹⁴ × 0.significantbits₂
00001₂, ..., 11110₂	число normalized		(−1)^signbit × 2^{exponent−15} × 1.significantbits₂
11111₂	±infinity	NaN (quiet, signalling)

Минимальное точное (subnormal) положительное значение = 2⁻²⁴ ≈ 5.96 × 10⁻⁸.

Минимальное (normal) положительное значение = 2⁻¹⁴ ≈ 6.10 × 10⁻⁵.

Максимальное представляемое значение = (2−2⁻¹⁰) × 2¹⁵ = 65504.

Примеры чисел половинной точности

В данных примерах числа с плавающей запятой представлены в двоичном представлении. Они включают в себя бит знака, экспоненту и мантиссу.

0 01111 0000000000  = +1 * 2^15-15 = 1
0 01111 0000000001  = +1.0000000001₂ * 2^15-15=1 + 2^-10 = 1.0009765625 (следующее большее число после 1)
1 10000 0000000000  = -1 * 2^16-15 = −2

0 11110 1111111111  = 65504  

0 00001 0000000000  = 2⁻¹⁴ ≈ 6.10352 × 10⁻⁵ (Минимальное нормальное положительное число)
0 00000 1111111111  = 2^-14 - 2^-24 ≈ 6.09756 × 10⁻⁵ (Максимальное денормализованное)
0 00000 0000000001  = 2⁻²⁴ ≈ 5.96046 × 10⁻⁸ (Минимальное положительное денормализованное)

0 00000 0000000000  = 0
1 00000 0000000000  = −0

0 11111 0000000000  = infinity
1 11111 0000000000  = −infinity

0 01101 0101010101  ≈ 0.33325... ≈ 1/3

По умолчанию, 1/3 округляется вниз.

Пример пересчета на языке python

data = 31743 #0 11110 1111111111 

sign = data >> 15
mantissa = (data & 0x3FF)
degree = (data >> 10) & 0x1F
result = ((-1) ** sign) * (2 ** (degree-15)) * (1 + mantissa/2**10)

print(result) 

#результат выполнения программы 65504

Пределы точности на целых числах

Целые между 0 и 2047 представляются точно
Целые между 2048 и 4095 округляются вниз до ближайшего кратному 2 (четному числу)
Целые между 4096 и 8191 округляются вниз до ближайшего кратному 4
Целые между 8192 и 16383 округляются вниз до ближайшего кратному 8
Целые между 16384 и 32767 округляются вниз до ближайшего кратному 16
Целые между 32768 и 65535 округляются вниз до ближайшего кратному 32