Среднее арифметическое взвешенное

Сре́днее арифмети́ческое взве́шенное — математическое понятие, обобщающее среднее арифметическое. Среднее арифметическое взвешенное набора чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ с весами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ определяется как

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}\cdot x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}={\dfrac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\ldots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}}}.}$

Основные числа и веса могут быть и вещественными, и комплексными. При этом сумма весов не может быть 0, но могут быть некоторые, не все веса, равные 0.

Если все веса ${\displaystyle w_{i}}$ равны между собой, получается обычное среднее арифметическое. Существуют также взвешенные версии среднего геометрического и среднего гармонического, среднего степенного и их обобщения — среднего по Колмогорову.

Иногда сумма весов равна 1 (например, в голосованиях в процентах как весах), тогда формула упрощается:

${\displaystyle {\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}\cdot x_{i}=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\ldots +w_{n}x_{n}.}$

Примеры использования

В физике

Средняя скорость тела

Если тело в течение промежутка времени ${\displaystyle t_{1}}$ движется со скоростью ${\displaystyle v_{1}}$, затем в течение следующего промежутка времени ${\displaystyle t_{2}}$ — со скоростью ${\displaystyle v_{2}}$ и так далее до последнего промежутка времени ${\displaystyle t_{n}}$, в течение которого оно движется со скоростью ${\displaystyle v_{n}}$, то средняя скорость движения тела за суммарный промежуток времени (${\displaystyle t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}}$) будет равна взвешенному среднему арифметическому скоростей ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ с набором весов ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$:

${\displaystyle v_{cp}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}t_{i}\cdot v_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}t_{i}}}={\dfrac {t_{1}v_{1}+t_{2}v_{2}+\ldots +t_{n}v_{n}}{t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}}}.}$

Центр масс

Другим примером использования данного понятия в физике является центр масс системы материальных точек, который задаётся формулой:

${\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}}}={\dfrac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}+\ldots +m_{n}{\vec {r}}_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n}}},}$

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{c}}$ — радиус-вектор центра масс,
${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ — радиус-вектор i-й точки системы,
${\displaystyle m_{i}}$ — масса i-й точки.

Температура смеси нескольких порций одной жидкости с разными температурами

${\displaystyle t_{cp}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}\cdot t_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}}}={\dfrac {m_{1}t_{1}+m_{2}t_{2}+\ldots +m_{n}t_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n}}}.}$,

где ${\displaystyle t_{cp}}$ — полученная температура смеси,
${\displaystyle t_{i}}$ — температура i-й порции,
${\displaystyle m_{i}}$ — масса i-й порции.

В экономике

Средневзвешенный курс валюты

${\displaystyle C_{cp}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}C_{i}\cdot b_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}}}={\dfrac {b_{1}C_{1}+b_{2}C_{2}+\ldots +b_{n}C_{n}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}},}$

где ${\displaystyle C_{cp}}$ — средневзвешенный курс,
${\displaystyle C_{i}}$ — цена по i-ой сделке,
${\displaystyle b_{i}}$ — объем i-ой сделки.

См. также

• Парадокс Симпсона
• Медианта