Ряд Лейбница

Ряд Лейбница — знакочередующийся ряд, названный именем исследовавшего его немецкого математика Лейбница (хотя этот ряд был известен и раньше):

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.}$

Сходимость этого ряда сразу следует из теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов. Лейбниц показал, что сумма ряда равна ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}.}$ Это открытие впервые показало, что число ${\displaystyle \pi }$, первоначально определённое в геометрии, на деле является универсальной математической константой; в дальнейшем этот факт постоянно находил новые подтверждения.

Скорость сходимости

Ряд Лейбница сходится крайне медленно. Нижеследующая таблица иллюстрирует скорость сходимости к ${\displaystyle \pi }$ ряда, умноженного на 4.

n (число членов ряда)	${\displaystyle 4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$ (частичная сумма, верные знаки выделены чёрным цветом)	Относительная точность
2	2,666666666666667	0,848826363156775
4	2,895238095238095	0,921582908570213
8	3,017071817071817	0,960363786700453
16	3,079153394197426	0,980124966449415
32	3,110350273698686	0,990055241612751
64	3,125968606973288	0,995026711499770
100	3,131592903558553	0,996816980705689
1000	3,140592653839793	0,999681690193394
10 000	3,141492653590043	0,999968169011461
100 000	3,141582653589793	0,999996816901138
1 000 000	3,141591653589793	0,999999681690114
10 000 000	3,141592553589793	0,999999968169011
100 000 000	3,141592643589793	0,999999996816901
1 000 000 000	3,141592652589793	0,999999999681690

История

Ряд Лейбница легко получить через разложение арктангенса в ряд Тейлора^[1]:

${\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }$

Положив ${\displaystyle x=1,}$ мы получаем ряд Лейбница.

Ряд Тейлора для арктангенса впервые открыл индийский математик Мадхава из Сангамаграмы, основатель Керальской школы астрономии и математики (XIV век). Мадхава использовал ряд^[2][3] для вычисления числа ${\displaystyle \pi }$. Однако ряд Лейбница с ${\displaystyle x=1,}$ как показано выше, сходится крайне медленно, поэтому Мадхава положил ${\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$ и получил гораздо быстрее сходящийся ряд^[4]:

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\dots \right).}$

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение ${\displaystyle 3{,}14159265359}$, причём все знаки, кроме последнего, верны^[5].

Труды Мадхавы и его учеников не были известны в Европе XVII века, и разложение арктангенса было независимо переоткрыто Джеймсом Грегори (1671) и Готфридом Лейбницем (1676). Поэтому некоторые источники предлагают называть данный ряд «рядом Мадхавы — Лейбница» или «рядом Грегори — Лейбница». Грегори, впрочем, не связал этот ряд с числом ${\displaystyle \pi .}$

Ускорение сходимости

Ещё одна модификация ряда Лейбница, делающая его практически пригодным для вычисления ${\displaystyle \pi }$ — попарное объединение членов ряда. В результате получим следующий ряд:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}.}$

Для дальнейшей оптимизации вычислений можно применить формулу Эйлера — Маклорена и использовать методы численного интегрирования.

См. также

• Гармонический ряд

Примечания

1. Фихтенгольц, 2003, с. 401.
2. Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1973. — Т. XVIII. — С. 104—131.
3. C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari. On an untapped source of medieval Keralese Mathematics (англ.) // Archive for History of Exact Sciences : journal. — 1978. — June (vol. 18). — P. 89—102. — doi:10.1007/BF00348142.
4. Вездесущее число «пи», 2007, с. 47.
5. R. C. Gupta. Madhava's and other medieval Indian values of pi (англ.) // Math. Education. — 1975. — Vol. 9, no. 3. — P. B45—B48.

Литература

• Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 2. — 864 с. — ISBN 5-9221-0157-9.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Gregory Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.