Ортогональная матрица

Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица ${\displaystyle A}$ с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу ${\displaystyle A^{T}}$ равен единичной матрице^[1]:

${\displaystyle AA^{T}=A^{T}A=E,}$

или, что эквивалентно, её обратная матрица (которая обязательно существует) равна транспонированной матрице:

${\displaystyle A^{-1}=A^{T}.}$

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.

Ортогональная матрица с определителем ${\displaystyle +1}$ называется специальной ортогональной.

Свойства

• Ортогональная матрица является унитарной (${\displaystyle Q^{-1}=Q^{*}}$) и, следовательно, нормальной (${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}}$).
• Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

${\displaystyle \sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk}}$

и

${\displaystyle \sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk}}$

где ${\displaystyle i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}}$, ${\displaystyle n}$ — порядок матрицы, а ${\displaystyle \delta _{jk}}$ — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Это же справедливо и для столбцов.

• Определитель ортогональной матрицы равен ${\displaystyle \pm 1}$, что следует из свойств определителей:

  ${\displaystyle 1=\det(E)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}=1.}$

Обратное неверно; матрица с определителем ${\displaystyle \pm 1}$ может быть неортогональной. Так, матрица ${\textstyle {\begin{pmatrix}3&0\\0&1/3\\\end{pmatrix}}}$ неортогональна, хотя её определитель равен 1.

• Множество ортогональных матриц порядка ${\displaystyle n}$ над полем ${\displaystyle k}$ образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу, которая обозначается ${\displaystyle O_{n}(k)}$ или ${\displaystyle O(n,\;k)}$ (если ${\displaystyle k}$ опускается, то предполагается ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$).
• Линейный оператор, заданный ортогональной матрицей, переводит ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
• Матрица вращения является специальной ортогональной. Матрица отражения является ортогональной.
• Любая ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

${\displaystyle (\pm 1)}$ и ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.}$

Примеры

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$ — единичная матрица.

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}}$ — матрица, отражающая плоскость относительно оси Х.

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}}$  — матрица поворота плоскости на угол θ.

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&\;\;\,0{,}96\\\end{pmatrix}}}$ — пример матрицы поворота.

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}$ — пример перестановочной матрицы.

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \cos \beta &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma \\\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma \\\cos \beta \sin \gamma &-\sin \beta &\cos \beta \cos \gamma \end{pmatrix}}}$ — матрица поворота, выраженная через углы Эйлера.

См. также

• Унитарная матрица
• Ортогональное преобразование
• Ортогональная группа
• Специальная ортогональная группа

Примечания

1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 4-е изд. — М: Наука, 1999. — стр. 158. — ISBN 5-02-015235-8.