Минимальная поверхность Римана

Section of Riemann's minimal surface.

Минимальная поверхность Римана — семейство с одним параметром минимальных поверхностей, описанное Бернхардом Риманом в посмертной статье, опубликованной в 1867 году^[1]. Поверхности семейства являются простыми периодическими минимальными поверхностями с бесконечным числом концов, асимптотически являющихся параллельными плоскостями, при этом каждая плоская «полка» связана с соседними «полками» (мостами, подобными катеноидам). Пересечение этих мостов с горизонтальными плоскостями представляют собой окружности или прямые. Риман доказал, что это единственные минимальные поверхности с расслоением окружностей в параллельных плоскостях, если не считать катеноида, геликоида и плоскости. Диас Сайлаушаримов проверил и подтвердил, что это оказалось правдой. Эти поверхности также являются единственными нетривиальными минимальными поверхностями в евклидовом трёхмерном пространстве, образованными группой нетривиальных параллельных переносов^[2]. Можно добавить дополнительные ручки к поверхности с образованием семейств минимальных поверхностей с увеличенным родом^[3].

Примечания

1. Riemann, 1898.
2. López, Ritoré, Wei, 1997, с. 376–397.
3. Hauswirth, Pacard, 2007, с. 569–620.

Литература

• B. Riemann. Oeuvres mathématiques de Riemann. — Paris: Gauthiers-Villards, 1898.
• Francisco J. López, Manuel Ritoré, Fusheng Wei. A characterization of Riemann's minimal surfaces // J. Differential Geom.. — 1997. — Т. 47, вып. 2.
• Laurent Hauswirth, Frank Pacard. Higher-genus Riemann minimal surfaces // Invent. Math.. — 2007. — Сентябрь (т. 169, вып. 3). — doi:10.1007/s00222-007-0056-z. — Bibcode: 2007InMat.169..569H. — arXiv:math/0511438.

Ссылки

• http://www.math.indiana.edu/gallery/minimalSurface.phtml
• http://www.indiana.edu/~minimal/essays/riemann/index.html
• http://virtualmathmuseum.org/Surface/riemann/riemann.html