Критерий сходимости знакоположительных рядов

Критерий сходимости положительных рядов — основной признак сходимости положительных числовых рядов. Утверждает, что положительный ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ${\displaystyle S(n)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ограничена сверху.

Доказательство

С одной стороны, так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно, она ограничена. А значит она ограничена и снизу, и сверху.

Обратно, пусть дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Заметим, что последовательность частичных сумм неубывающая:

${\displaystyle S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\geqslant 0}$

Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности. Получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), а потому ряд сходится по определению.

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.