Кососимметричная матрица

Кососимметричная (кососимметрическая или антисимметричная) матрица — квадратная матрица ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle k}$ характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:

${\displaystyle A^{T}=-A,}$

где ${\displaystyle A^{T}}$ — транспонированная матрица.

Для ${\displaystyle n\times n}$ матрицы ${\displaystyle A}$ это соотношение эквивалентно:

${\displaystyle a_{i,j}={}-a_{j,i}}$ для всех ${\displaystyle i,j=1,2,\ldots ,n}$,

где ${\displaystyle a_{i,j}}$ — элемент ${\displaystyle i}$-ой строки и ${\displaystyle j}$-го столбца матрицы ${\displaystyle A}$.

Свойства

• Ранг кососимметрической матрицы всегда чётный.
• Любая квадратная матрица В над полем характеристики, отличной от 2, есть сумма симметрической и кососимметрической матриц, которые определяются единственным образом.
• Ненулевые корни характеристического многочлена вещественной кососимметрической матрицы — чисто мнимые числа.
• Вещественная кососимметрическая матрица подобна блочно-диагональной матрице с нулевыми недиагональными блоками и диагональными блоками ${\displaystyle 2\times 2}$ вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}}$.

• Множество всех кососимметрических матриц порядка ${\displaystyle n}$ над полем ${\displaystyle k}$ образует алгебру Ли над ${\displaystyle k}$ относительно сложения матриц и коммутирования:

${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$.

См. также

• Пфаффиан