Родился в семье палехских крестьян-иконописцев. Дед Николай Илларионович Корин владел мастерской иконописи и был известным мастером палехской миниатюры. Отец художника не поощрял занятий сына живописью. Поначалу Алексей Корин брал уроки у своего дяди, Д. Н. Корина, отца известных впоследствии живописцев Михаила, Александра и Павла Кориных.
В 1889 за картину «После обедни» Алексей Корин был награждён большой серебряной медалью и получил звание классного художника. В этом же году с группой художников, среди которых был и Левитан И. И., выезжал на пленэр на Волгу, в город Плёс[2]. В последующие годы часто жил и работал в Плёсе, многократно увековечивая его в своих произведениях.
С 1885 года принимал участие в выставках художественного кружка «Среда» Московского общества любителей художеств. В 1890 году удостоен второй премии МОЛХ, в 1891 и 1892 годах — первых премий за портреты.
В 1891 году впервые участвовал в выставке художников-передвижников. В 1892 году была написана картина «Больной художник», получившая высокую оценку таких мастеров как Репин И. Е. и Стасов В. В. В 1892 Третьяков П. М. приобретает для своей коллекции картину «Больной художник». С 1895 являлся членом ТПХВ, занимался организацией выставок Товарищества в Москве (1900 и 1902).
С 1900 жил в Москве, летние месяцы проводил в деревне Марьино под Клином в Тверской губернии. В 1894—1917 годах преподавал в МУЖВЗ, в начале 1900-х — в Центральном Строгановском училище технического рисования. Участвовал в организации художественного отдела Тобольского музея (1900), Вятского художественно-исторического музея (1910).
В 1911—1912 выполнил роспись собора — памятника Александру Невскому в Софии, реставрировал иконопись и фрески Троице-Сергиевой лавры. В 1911 экспонировал свои произведения на Всемирной выставке в Риме.
Персонажи бытовых картин художника — реальные люди из его окружения. Это дед Корина Николай Илларионович в картине «За чайком», теща Александра Флегонтовна Аммосова (урожденная Воскресенская, сестра архитекторов С. Ф. Воскресенского и Ф. Ф. Воскресенского) в картине «Опять провалился»; близкие и знакомые художнику люди изображены на картинах «Перед уходом в гимназию», «У открытого окна» и многих других.
После Октябрьской революции 1917 года окончательно поселился в деревне Марьино, где у него была своя мастерская. Участвовал во 2-й Государственной выставке картин 1918—1919 в Москве и 3-й Государственной выставке картин в Рязани.
После тяжёлой болезни, в 1923 году скончался в деревне Марьино, где и похоронен.
Алексей Корин: Альбом. Корина-Рысева И., авт. и сост. — М. Издательство Белый город, серия Мастера живописи. 2003 г., твердая обложка, 48 с.
Корина, Н. Д. Творческое наследие художника Алексея Михайловича Корина (1865—1923) в контексте русского искусства конца XIX — начала XX века : монография — Москва : БуксМАрт, 2020. — 655
Корин, Алексей Михайлович // Корзинка — Кукунор. — М. : Советская энциклопедия, 1953. — С. 4. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 23).