Конформно плоское многообразие

Конформно плоское многообразие — риманово многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область евклидова пространства.

Более формально, пусть M — псевдориманово многообразие с метрикой g. Тогда M является конформно плоским, если для каждой точки ${\displaystyle x\in M}$существует окрестность ${\displaystyle U\ni x}$ и гладкая функция ${\displaystyle \phi }$, определённая на U и такая, что метрика ${\displaystyle e^{2\phi }\cdot g}$ на ${\displaystyle U}$ является плоской (то есть кривизны ${\displaystyle e^{2\phi }\cdot g}$ обращаются в нуль на ${\displaystyle U}$).

Функция ${\displaystyle \phi }$ называется конформным фактором, она не должна быть определена на всём М. Некоторые авторы используют термин локально конформно плоское для описания понятия, введённого выше, и оставляют термин конформно плоское для случая, в котором функция ${\displaystyle \phi }$ определяется на всём М.

Примеры

• Любое многообразие с постоянной секционной кривизной является конформно плоским.
• Любое 2-мерное псевдориманово многообразие является конформно плоским.
• 3-мерное псевдориманово многообразие является конформно плоским тогда и только тогда, когда тензор Коттона обращается в нуль.
• n-мерное псевдориманово многообразие для n ≥ 4 является конформно плоским, тогда и только тогда, когда тензор Вейля обращается в нуль.

Свойства

• Всякое компактное, односвязное, конформно плоское риманово многообразие является конформно эквивалентным сфере.

Вариации и обобщения

• Псевдориманово многообразие называется конформно плоским если каждая его точка имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область псевдоевклидова пространства.