Континуум (теория множеств)

Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел.^[1] Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным^[2] множеством.

Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

Свойства

• Континуум есть мощность булеана счётного множества.
• Как мощность булеана счётного множества, континуум является бесконечной мощностью^[3], превосходящей счётную. В теории множеств с аксиомой выбора континуум, как и любая бесконечная мощность, является алефом, и, при обозначении ординального номера континуума в ряду алефов буквой ${\displaystyle \zeta }$ (${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{\zeta }}$), выполняется ${\displaystyle \zeta >0}$, то есть ${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}\leq \aleph _{\zeta }={\mathfrak {c}}}$.
• В ряду бесконечных булеанов ${\displaystyle \beth _{\xi }}$^[4] континуум ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}}$.
• Предположение, что не существует мощностей, промежуточных между счётной и континуумом, называется континуум-гипотезой. В теории множеств с аксиомой выбора она формулируется, как ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ или ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$ или ${\displaystyle \zeta =1}$, где ${\displaystyle \zeta }$ — ранее введённый номер континуума в ряду алефов. Обобщённая континуум-гипотеза формулируется, как ${\displaystyle \beth _{\xi }=\aleph _{\xi }}$ для любого ординала ${\displaystyle \xi }$.
• Счётная декартова степень континуума — континуум: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$, и, следовательно, любая ненулевая конечная^[5] декартова степень континуума — так же континуум: ${\displaystyle \left(\forall n\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}\right){\mathfrak {c}}^{n}={\mathfrak {c}}}$.
• В теории множеств с аксиомой выбора мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых само не более чем континуально, не превосходит континуума, то есть ${\displaystyle \aleph _{\zeta +1}={\mathfrak {c}}^{+}}$ регулярен.
• Мощность объединения не более чем счётного семейства не более чем счётных множеств не более чем счётна, то есть сечение^[6] класса мощностей (как большого^[7] частичного порядка), нижний класс которого есть не более чем счётные мощности, непреодолимо «по Пифагору»^[8], то есть в теории множеств с аксиомой выбора ${\displaystyle \aleph _{1}}$ регулярен. Как следствие, континуум (как и ${\displaystyle \aleph _{1}}$) недостижим «по Пифагору» от не более чем счётных мощностей — не может быть получен объединением не более чем счётного числа не более чем счётных.
• При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, в теории множеств с аксиомой выбора конфинальность континуума — несчётна.

Происхождение термина

Изначально континуумами были названы более чем одноточечные непрерывные («континуальные») порядки, то есть порядки со связной естественной топологией. В терминах собственно порядка это означает, что любое его сечение является дедекиндовым.

Континуум как целое может как иметь, так и не иметь минимального и максимального элементов, то есть его концы могут быть как «открыты», так и «замкнуты».

Минимальным (то есть содержащимся в любом континууме) континуумом является вещественная прямая (как с открытыми, так и с замкнутыми концами).

Любой порядок может быть пополнен до континуума, из чего следует, что континуумы могут иметь неограниченно большие мощности. В кардинальном ряду они обозначаются ${\displaystyle {\mathfrak {c}}_{\xi }}$, где ${\displaystyle \xi }$ — ординальный номер континуума.

Минимальное пополнение порядка до континуума строится заполнением щелей дополнительными точками, а скачков — отрезками (0, 1) без концов.

В последующем термин «континуум», выйдя за пределы специфических порядковых рассмотрений, в теории множеств (а вслед за ней — и в остальной математике) сузился до собственно вещественной прямой, а «мощность континуума» ${\displaystyle {\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}_{0}}$, стала, соответственно, её мощностью. В дальнейшем «континуумом» стали называть уже саму мощность континуума ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. В топологии этот термин, напротив, расширился до любой связной компактной хаусдорфовой топологии (связного компакта), безотносительно к тому, имеет ли данная топология порядковое происхождение, при этом некоторые континуумы в старом смысле (например, вещественная прямая с открытыми концами) перестали считаться таковыми из-за потери компактности.

В настоящее время использование термина «континуум» в исходном смысле встречается в основном лишь в сравнительно старой литературе.

Примеры

Примеры множеств, имеющих мощность континуум:

• Все точки вещественной прямой ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ (множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$).
• Все точки отрезка ${\displaystyle [0,1]}$.
• Все точки плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (или ${\displaystyle n}$‑мерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\neq 0}$).
• Множество всех иррациональных чисел.
• Множество всех трансцендентных чисел.
• Множество всех подмножеств счётного множества.
• Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
• Множество всех счётных множеств натуральных чисел.
• Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
• Множество всех непрерывных функций ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$.
• Множество всех открытых подмножеств плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (или ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).
• Множество всех замкнутых подмножеств плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (или ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).
• Множество всех борелевских подмножеств плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (или ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).
• Канторово множество

Примечания

1. Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.-Л., Гостехиздат, 1948. — с. 11
2. Математика справочник Куринной Г. Ч.
3. См. бесконечное множество.
4. Ряд бесконечных булеанов определяется, как ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$; ${\displaystyle \beth _{\xi +1}=\left|\operatorname {\mathcal {P}} \left(\beth _{\xi }\right)\right|}$; ${\displaystyle \beth _{\sup u}=\sup _{\xi \in u}\beth _{\xi }}$.
5. См. конечное множество.
6. Разбиение секомого предпорядка на два дизъюнктных класса: верхний и нижний. Любой элемент, меньше либо равный какому-либо из нижнего, сам находится в нижнем, больше либо равный какому-либо из верхнего, сам находится в верхнем. Если какой-либо из классов пуст — сечение несобственное.
7. предполагается использование какого-либо способа разрешения формальных сложностей, связанных с большими объектами: теории с классами, погружение в универсальное множество и т. п.
8. Сам сказал: единица порождает существование, двоица — неопределённое множество.