Квадрат (алгебра)

График y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Квадра́т числа ${\displaystyle x}$ — результат умножения числа на себя: ${\displaystyle x\cdot x}$. Обозначение: ${\displaystyle x^{2}}$.

Вычисление ${\displaystyle x^{2}}$ — математическая операция, называемая возведе́нием в квадра́т. Эта операция представляет собой частный случай возведения в степень, а именно — возведение числа ${\displaystyle x}$ в степень 2.

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …

Исторически натуральные числа из этой последовательности называли «квадратными».

Способы представления

Квадрат натурального числа ${\displaystyle n}$ можно представить в виде суммы первых ${\displaystyle n}$ нечётных чисел:

1: ${\displaystyle 1=1}$

2: ${\displaystyle 4=1+3}$

…

7: ${\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}$

…

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
${\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n}$
Пример:

1: ${\displaystyle 1=1}$

2: ${\displaystyle 4=1+1+2}$

…

4: ${\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}$

…

Сумма квадратов первых ${\displaystyle n}$ натуральных чисел вычисляется по формуле:
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Вывод

Способ 1, метод приведения:

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до ${\displaystyle n+1}$:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+\sum _{k=0}^{n}3k^{2}+\sum _{k=0}^{n}3k+\sum _{k=0}^{n}1=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1}$

Получим:

${\displaystyle (n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)}$

Умножим на 2 и перегруппируем:

${\displaystyle 6\sum _{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$       (В рассуждениях использована формула: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}}$, вывод которой аналогичен приведённому)

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени ${\displaystyle N}$ может быть выражена как функция ${\displaystyle N+1}$ степени. Исходя из этого факта предположим:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D}$

${\displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14}$

Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:

${\displaystyle {\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\\end{cases}}}$

Решив её, получим ${\displaystyle A={\frac {1}{3}},B={\frac {1}{2}},C={\frac {1}{6}},D=0}$

Таким образом:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

${\displaystyle \left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.}$

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

${\displaystyle \left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\phi }\right).}$

Геометрический смысл

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

Литература

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

См. также

• Извлечение квадратного корня — обратная операция по отношению к возведению в квадрат.
• Квадратное число
• Куб числа
• Обобщение на более высокие степени на Вольфраме Архивная копия от 2 июля 2012 на Wayback Machine.