Интегральное уравнение Вольтерры

Интегра́льное уравне́ние Вольте́рры (распространено также написание интегральное уравнение Вольтерра́^[1]) — специальный тип интегральных уравнений. Предложены итальянским математиком Вито Вольте́ррой, а затем изучались Траяном Лалеску в работе Sur les équations de Volterra, написанной в 1908 году под руководством Эмиля Пикара. В 1911 году Лалеску написал первую книгу об интегральных уравнениях. Уравнения находят применение в демографии, изучении вязко-упругих материалов, в страховой математике через уравнение восстановления.

Данные уравнения делятся на два типа.

Линейное уравнение Вольтерры первого рода:

${\displaystyle f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds}$,

где ${\displaystyle f}$ — заданная функция, ${\displaystyle x}$ — неизвестная функция.

Линейное уравнение Вольтерры второго рода:

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds}$.

В теории операторов и в теории Фредгольма соответствующие уравнения называются оператором Вольтерры.

Функция ${\displaystyle K}$ в интеграле часто называется ядром. Такие уравнения могут быть проанализированы и решены с помощью метода Лапласа.

Уравнения с однородным ядром

Первого рода

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{t}K(t-s)\,x(s)\,ds}$

Решение основано на преобразовании Лапласа. Производя преобразование Лапласа обеих частей уравнения и обозначая его тильдой:

${\displaystyle {\tilde {f}}(p)={\tilde {K}}(p){\tilde {x}}(p)}$

Таким образом,

${\displaystyle {\tilde {x}}(p)={\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(p)}}}$

Если при ${\displaystyle t\to 0}$ функции ${\displaystyle K(t),f(t)}$ стремятся к ${\displaystyle K_{0},f_{0}}$ соответственно, то при больших ${\displaystyle p}$ функция ${\displaystyle {\tilde {x}}\to f_{0}/K_{0}}$. Это означает наличие ${\displaystyle \delta }$-функционного вклада, который следует вынести. Таким образом, решение имеет вид

${\displaystyle x(t)={\frac {f_{0}}{K_{0}}}\delta (t)+\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(t)}}-{\frac {f_{0}}{K_{0}}}\right)}$

Второго рода

${\displaystyle f(t)=x(t)+\int _{a}^{t}K(t-s)x(s)\,ds}$

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что

${\displaystyle {\tilde {x}}(p)={\frac {{\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(p)}}}$

Здесь уже случая неопределённости не возникает и

${\displaystyle x(t)=\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(t)}}\right)}$

Примечания

1. Вержбицкий М. В. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). Учебное пособие. — Directmedia, 2014. — С. 351. — 400 с. — ISBN 9785445838760.