Интеграл Лебега

Сверху интегрирование по Риману, снизу — по Лебегу

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега^[1] состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$, и на нём определена измеримая функция ${\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелевская ${\displaystyle \sigma }$-алгебра на вещественной оси.

Определение 1. Пусть ${\displaystyle f}$ — индикатор некоторого измеримого множества, то есть ${\displaystyle f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)}$, где ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$. Тогда интеграл Лебега функции ${\displaystyle f}$ по определению:

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{A}d\mu =\mu (A).}$

Определение 2. Пусть ${\displaystyle f}$ — простая функция, то есть ${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)}$, где ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}}$ — конечное разбиение ${\displaystyle X}$ на измеримые множества. Тогда

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})}$.

Определение 3. Пусть теперь ${\displaystyle f}$ — неотрицательная функция, то есть ${\displaystyle f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X}$. Рассмотрим все простые функции ${\displaystyle \{f_{s}\}}$, такие что ${\displaystyle f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X}$. Обозначим это семейство ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{f}}$. Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от ${\displaystyle f}$ задаётся формулой:

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}}$.

Наконец, если функция ${\displaystyle f}$ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

${\displaystyle f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),}$

где

${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))}$.

Определение 4. Пусть ${\displaystyle f}$ — произвольная измеримая функция. Тогда её интеграл задаётся формулой:

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)}$.

Определение 5. Пусть наконец ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

${\displaystyle \int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)}$,

где ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)}$ — индикатор-функция множества ${\displaystyle A}$.

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле ${\displaystyle f(x)\equiv \chi _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)}$, заданную на ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,1])}$ — борелевская σ-алгебра на ${\displaystyle [0,1]}$, а ${\displaystyle m}$ — мера Лебега. Эта функция принимает значение ${\displaystyle 1}$ в рациональных точках и ${\displaystyle 0}$ в иррациональных. Легко увидеть, что ${\displaystyle f}$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

${\displaystyle \int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.}$

Действительно, мера отрезка ${\displaystyle [0,1]}$ равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна ${\displaystyle 1-0=1}$.

Замечания

Приближение неотрицательной функции всюду монотонной последовательностью простых, сходящихся к ней

Указанная функция ${\displaystyle f_{n}}$ (коричневая) при возрастающем ${\displaystyle n}$ на фоне функции ${\displaystyle f_{n}}$ (зелёная)

Из семейства ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{f}}$➤ всегда можно выделить такую последовательность функций ${\displaystyle \{f_{n}\}}$, что последовательность их значений ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ в любой точке ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle X}$ одновременно монотонно неубывает и стремится к ${\displaystyle f(x).}$

Для этого найдём разложение ${\textstyle X=\bigsqcup _{k=1}^{\infty }X_{k}}$, где ${\textstyle X_{k}}$ имеют конечную меру (подразумевается, что мера сигма-конечна). Теперь рассмотрим последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ следующих функций. Когда ${\displaystyle f(x)}$ меньше ${\textstyle 2^{n}}$ и ${\displaystyle x}$ принадлежит объединению ${\textstyle \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k}}$, функция равна целой части произведения ${\displaystyle f(x)\cdot 2^{n}}$, делённой на ${\displaystyle 2^{n}}$; в таком случае происходит округление ${\displaystyle f(x)}$ с точностью до соответствующей степени двойки ${\textstyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ (иначе говоря, при ${\textstyle {\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}\leqslant 2^{n}}$ функция ${\displaystyle f_{n}(x)}$ равна ${\textstyle {\frac {k}{2^{n}}}}$). Когда ${\displaystyle f(x)}$ не меньше ${\textstyle n}$ и ${\displaystyle x}$ принадлежит указанному объединению, функция равна ${\textstyle 2^{n}}$; Когда ${\displaystyle x}$ этому объединению не принадлежит, она равна нулю. Формализуя вышесказанное,

$${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {\lfloor f(x)\cdot 2^{n}\rfloor }{2^{n}}},&f(x)<2^{n},\ x\in \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k};\\[7pt]2^{n},&f(x)\geqslant 2^{n},\ x\in \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k};\\[7pt]0,&x\not \in \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k}.\end{cases}}}$$

Тогда понятно, что все ${\displaystyle f_{n}}$ простые, так как принимают ненулевые только значения из ${\textstyle \left\{{\frac {k}{2^{n}}}\right\}_{k=0}^{2^{2n}}}$, коих конечное количество, на множествах ${\textstyle \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k}}$ конечной меры. В то же время для целой части верны неравенства

${\displaystyle {\frac {{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }}{2^{n}}}={\frac {2{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }}{2^{n+1}}}={\frac {{\Big \lfloor }2{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }{\Big \rfloor }}{2^{n+1}}}\leqslant {\frac {{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n+1}{\big \rfloor }}{2^{n+1}}}}$ ^[a] и ${\displaystyle 2^{n}\leqslant f(x)<2^{n+1}\Rightarrow 2^{2n}\leqslant f(x)\cdot 2^{n}\Rightarrow 2^{n}\leqslant {\frac {{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }}{2^{n}}}}$^[a],

из которых следует неубывание всюду.

Другие замечания

• Так как ${\displaystyle |f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)}$, измеримая функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle |f(x)|}$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
• В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
• Если функция определена на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и измерима, то она называется случайной величиной, а её интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Свойства

• Интеграл Лебега линеен, то есть

  ${\displaystyle \int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)}$,

где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ — произвольные константы.

• Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если ${\displaystyle 0\leqslant f(x)\leqslant g(x)}$ почти всюду, ${\displaystyle f(x)}$ измерима и ${\displaystyle g(x)}$ интегрируема, то интегрируема и ${\displaystyle f(x)}$, и более того

  ${\displaystyle 0\leqslant \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leqslant \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)}$.

• Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ почти всюду, то

  ${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)}$.

• Модуль интеграла Лебега от некоторой функции не больше интеграла от модуля этой функции:

  ${\displaystyle \left|\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\right|\leqslant \int \limits _{X}|f(x)|\,\mu (dx)}$.

Свойства интеграла Лебега как функции множества

В следующих свойствах интеграл Лебега рассматривается как функция

${\displaystyle F(X)=\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)}$

от измеримого множества ${\displaystyle X}$ для некоторой измеримой интегрируемой функции ${\displaystyle f(x)}$^[2].

• Интеграл Лебега счётно-аддитивен, то есть интеграл по счётному объединению непересекающихся множеств равен сумме интегралов по этим множествам:

  ${\displaystyle A=\bigsqcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{A_{n}}f(x)\,\mu (dx)}$.

• Если функция ${\displaystyle f(x)}$ неотрицательна, интеграл Лебега является счётно-аддитивной мерой на кольце множеств, на которых ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема.
• Неравенство Чебышёва. Если функция ${\displaystyle f(x)}$ неотрицательна на множестве ${\displaystyle A}$, то для любого положительного ${\displaystyle c}$ мера множества всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle A}$, для которых значение ${\displaystyle f(x)}$ не меньше ${\displaystyle c}$, сама не больше интеграла от ${\displaystyle f(x)}$ по ${\displaystyle A}$, делённому на ${\displaystyle c}$:

  ${\displaystyle \mu \left\{x\in A:f(x)\geqslant c\right\}\leqslant {\frac {1}{c}}\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)}$.

• Интеграл Лебега абсолютно непрерывен. Это значит, что для любого положительного ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся такое положительное ${\displaystyle \delta }$, что модуль интеграла от ${\displaystyle f(x)}$ по любому множеству ${\displaystyle B\subseteq A}$, меры меньше ${\displaystyle \delta }$, меньше ${\displaystyle \varepsilon }$:

  ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall B,\mu B<\delta :\left|\int \limits _{B}f(x)\,\mu (dx)\right|<\varepsilon }$^[3].

Доказательство^[3]

Обозначим за ${\displaystyle A_{n}}$ множество всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle A}$, для которых модуль ${\displaystyle |f(x)|}$ лежит в промежутке ${\displaystyle [n;n+1)}$: ${\displaystyle A_{n}={\big \{}x\in A:n\leqslant |f(x)|<n+1{\big \}}}$, за ${\displaystyle B_{N}}$ — всех ${\displaystyle x}$, для которых этот модуль больше ${\displaystyle N}$: ${\displaystyle B_{N}={\big \{}x\in A:|f(x)|<N+1{\big \}}=\textstyle {\bigcup _{n=0}^{N}A_{n}}}$, а за ${\displaystyle C_{N}}$ — дополнение ${\displaystyle A\setminus B_{N}.}$

Так как объединение множеств ${\displaystyle A_{n}}$ для всех целых неотрицательных ${\displaystyle n}$ есть всё множество ${\displaystyle A}$, в силу счётной аддитивности интеграл от ${\displaystyle |f(x)|}$ по ${\displaystyle A}$ равен сумме интегралов по ${\displaystyle A_{n}.}$ Но ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема, поэтому её модуль ${\displaystyle |f(x)|}$ интегрируем, а значит такая бесконечная сумма ${\displaystyle A_{n}}$ сходится. Как следствие, найдётся такое целое ${\displaystyle N}$, что

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }\int \limits _{A_{n}}|f(x)|\,\mu (dx)=\int \limits _{C_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)<{\frac {\varepsilon }{2}}.}$

Теперь возьмём ${\displaystyle \delta }$ меньшим ${\textstyle {\frac {\varepsilon }{2(N+1)}}.}$ Тогда из того, что мера множества ${\displaystyle B\subseteq A}$ меньше ${\displaystyle \delta }$, следует искомое неравенство:

${\displaystyle \left|\int \limits _{B}f(x)\,\mu (dx)\right|\leqslant \int \limits _{B\cap B_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)+\int \limits _{B\cap C_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)<\int \limits _{B\cap B_{N}}(N+1)\,\mu (dx)+\int \limits _{C_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)<\int \limits _{B_{N}}(N+1)\,\mu (dx)+{\frac {\varepsilon }{2}}=(N+1)\cdot \mu B_{N}+{\frac {\varepsilon }{2}}<(N+1)\cdot {\frac {\varepsilon }{2(N+1)}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}$

Интегральные суммы Лебега

Интегральными суммами Лебега для функции ${\displaystyle f(x)}$ и меры ${\displaystyle \mu }$ называются суммы вида

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}}$,

где ${\displaystyle y_{1}<y_{2}<\dots <y_{N}}$ — разбиение области значений функции ${\displaystyle f(x)}$.

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию ${\displaystyle f(x)}$ в каждой точке она принимает одно из значений ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}}$ (а именно, ${\displaystyle y_{k}}$ на подмножестве ${\displaystyle \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}}$). Поэтому, если функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда ${\displaystyle y_{1}\rightarrow -\infty }$, ${\displaystyle y_{N}\rightarrow +\infty }$, и диаметр разбиения ${\displaystyle \delta =\max\{y_{2}-y_{1},\dots ,y_{N}-y_{N-1}\}}$ стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:

${\displaystyle F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\}}$

Тогда интегральные суммы Лебега для функции ${\displaystyle f(x)}$ и меры ${\displaystyle \mu }$ становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции ${\displaystyle y}$ и функции распределения ${\displaystyle F(y)}$:

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }ydF(y)}$.

Если функция распределения ${\displaystyle F(y)}$ имеет плотность: ${\displaystyle dF(y)=\rho (y)dy}$, то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана:

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy}$.

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

Примечания

1. Последние переходы верны, так как целая часть сохраняет неравенства.

1. Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.
2. Колмогоров, Фомин, 1976, с. 298.
3. Колмогоров, Фомин, 1976, с. 301.

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — С. 291—306.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е. — М.: ГУПИМПР, 1961. — 173 с.