Интеграл Фреше

Интеграл Фреше — интеграл, задаваемый на множестве элементов ${\displaystyle F}$ произвольной природы.

Для определения интеграла Фреше на множестве ${\displaystyle F}$ рассматривается некоторое ${\displaystyle \sigma }$-кольцо множеств ${\displaystyle T}$ с заданной на нём счётно-аддитивной функцией множества ${\displaystyle \Phi (E)}$ c вариациями ${\displaystyle {\overline {W}}(\Phi ,E)}$ и ${\displaystyle {\underline {W}}(\Phi ,E)}$. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — неотрицательная действительная функция элемента ${\displaystyle x}$ пространства ${\displaystyle F}$. Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется суммируемой относительно ${\displaystyle \Phi }$ на множестве ${\displaystyle E\subset T}$, если сходится ряд ${\displaystyle \sum _{i}M_{i}W(\Phi ,E_{i})}$ при некотором разбиении множества ${\displaystyle E}$ на непересекающиеся слагаемые ${\displaystyle E_{i}}$, ${\displaystyle E_{i}\subset T}$, ${\displaystyle M_{i}=\sup _{E_{i}}f}$.

Интеграл в смысле Фреше от функции ${\displaystyle f(x)}$ определяется как разность интегралов относительно ${\displaystyle {\overline {W}}(\Phi ,E)}$ и ${\displaystyle {\underline {W}}(\Phi ,E)}$.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Фреше

Для того, чтобы суммируемая функция ${\displaystyle f(x)}$ была интегрируемой в смысле Фреше, необходимо и достаточно, чтобы при всяком действительном ${\displaystyle a}$ множество ${\displaystyle E_{x}(f(x)>a)}$ отличалось от множества из ${\displaystyle \sigma }$-кольца ${\displaystyle T}$ на некоторое подмножество множества меры нуль, принадлежащего ${\displaystyle \sigma }$-кольцу.

Литература

• Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука, 1980. — 202 с.