Дифференциальная форма

Дифференциа́льная фо́рма порядка ${\displaystyle k}$, или ${\displaystyle k}$-форма, — кососимметрическое тензорное поле типа ${\displaystyle (0,k)}$ на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство ${\displaystyle k}$-форм на многообразии ${\displaystyle M}$ обычно обозначают ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$.

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии дифференциальная форма степени ${\displaystyle k}$, или просто ${\displaystyle k}$-форма, — это гладкое сечение ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M}$, то есть ${\displaystyle k}$-й внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

• значение ${\displaystyle k}$-формы на наборе из ${\displaystyle k}$ штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
• значение ${\displaystyle k}$-формы в точке ${\displaystyle x}$ многообразия есть кососимметрический ${\displaystyle k}$-линейный функционал на ${\displaystyle T_{x}M}$.

В локальных координтах

${\displaystyle k}$-формой на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ будем называть выражение следующего вида

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}$

где ${\displaystyle f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ — гладкие функции, ${\displaystyle dx^{i}}$ — дифференциал ${\displaystyle i}$-ой координаты ${\displaystyle x^{i}}$ (функция от вектора, возвращающая его координату с номером ${\displaystyle i}$ ), а ${\displaystyle \wedge }$ — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

• Для ${\displaystyle k}$-формы

  ${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\dots ,x^{n})dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}$

её внешний дифференциал (также просто дифференциал) — это ${\displaystyle (k+1)}$-форма, в координатах имеющая вид

${\displaystyle d\omega =\sum _{j=1}^{n}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots ,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}$

• Для инвариантного определения дифференциала нужно доказать, что существует единственное ${\displaystyle \mathbb {R} }$-линейное продолжение дифференциала на все формы удовлетворяющее следующим условиям:
  • ${\displaystyle df(v)=v(f)}$ для любой функции ${\displaystyle f}$ (то есть ${\displaystyle 0}$-формы) и векторного поля ${\displaystyle v}$. То есть значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
  • ${\displaystyle dd=0}$
  • ${\displaystyle \ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\vartheta ^{p})}$ — где верхние индексы ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle p}$ обозначают порядки соответствующих форм.

• Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
• k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой ${\displaystyle (k-1)}$-формы.
• Факторгруппа ${\displaystyle H_{dR}^{k}={\bar {\Omega }}_{k}/d\Omega _{k-1}}$ замкнутых k-форм по точным k-формам называется ${\displaystyle k}$-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
• Внутренней производной формы ${\displaystyle \omega }$ степени ${\displaystyle n}$ по векторному полю ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма

  ${\displaystyle i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots ,u_{n-1})=\omega (\mathbf {v} ,u_{1},\dots ,u_{n-1})}$

Свойства

• Для любой формы справедливо ${\displaystyle d(d\omega )=0}$.

• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  ${\displaystyle d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})}$

• Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  ${\displaystyle i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})}$

• Формулы Картана. Для произвольной формы ${\displaystyle \omega }$ и векторных полей ${\displaystyle X,Y,Z}$ выполняются следующие соотношения

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,}$

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,}$ (волшебная формула Картана)

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,}$

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,}$

  ${\displaystyle i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ обозначает производную Ли.

Примеры

• С точки зрения тензорного анализа 1-форма есть не что иное, как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке ${\displaystyle p}$ многообразия ${\displaystyle M}$ и отображающий элементы касательного пространства ${\displaystyle T_{p}(M)}$ в множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$:

  ${\displaystyle \omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb {R} }$

• Форма объёма — пример ${\displaystyle n}$-формы на ${\displaystyle n}$-мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма ${\displaystyle \omega }$ на ${\displaystyle 2n}$-многообразии, такая что ${\displaystyle \omega ^{n}\not =0}$.

Применения

Векторный анализ

Основная статья: Векторный анализ

Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть ${\displaystyle I}$ — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а ${\displaystyle *}$ — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:

${\displaystyle \operatorname {rot} \,v=*\,d\,I(v)}$

${\displaystyle \operatorname {div} \,v=*^{-1}d\,*(v)}$

Дифференциальные формы в электродинамике

Основная статья: Дифференциальные формы в электромагнетизме

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.}$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид

${\displaystyle {\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.}$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

${\displaystyle \mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}}$

где ${\displaystyle *}$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма ${\displaystyle *\mathbf {F} }$ также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

Основная статья: Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие ${\displaystyle M}$ с заданными на нём симплектической формой ${\displaystyle \omega }$ и функцией ${\displaystyle H}$, называемой функцией Гамильтона. ${\displaystyle \omega }$ задаёт в каждой точке ${\displaystyle X\in M}$ изоморфизм ${\displaystyle I}$ кокасательного ${\displaystyle T_{X}^{*}M}$ и касательного ${\displaystyle T_{X}M}$ пространств по правилу

${\displaystyle dH(\mathbf {u} )=\omega (IdH,\mathbf {u} ),~~\forall \mathbf {u} \in T_{X}M}$,

где ${\displaystyle dH}$ — дифференциал функции ${\displaystyle H}$. Векторное поле ${\displaystyle IdH}$ на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle M}$ определяется по правилу

${\displaystyle [F,G]=\omega (IdF,IdG)}$

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задаётся полилинейная антисимметричная функция от ${\displaystyle k}$ векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на ${\displaystyle M}$ со значениями в векторном расслоении ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

${\displaystyle \left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}E}$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение ${\displaystyle TM}$.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1973.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса