Дерево Фибоначчи

Дерево Фибоначчи — АВЛ-дерево с наименьшим числом вершин при заданной высоте (глубине).

1. Если для какой-либо из вершин высота поддерева, для которого эта вершина является корнем, равна ${\displaystyle h}$, то правое и левое поддерево этой вершины имеют высоты равные соответственно ${\displaystyle h-1}$ и ${\displaystyle h-2}$, или ${\displaystyle h-2}$ и ${\displaystyle h-1}$. Каждое поддерево дерева Фибоначчи также является деревом Фибоначчи.
2. Пустое дерево — дерево Фибоначчи высоты 0.
3. Дерево с одной вершиной — дерево Фибоначчи высоты 1.

Число вершин

Одно из весьма существенных свойств дерева Фибоначчи — количество вершин в нём может принимать только некоторый набор значений. Пусть ${\displaystyle N_{h}}$ — число вершин в дереве Фибоначчи с высотой ${\displaystyle h}$, тогда ${\displaystyle N_{0}=0}$, ${\displaystyle N_{1}=1}$, а для произвольного h число вершин можно описать рекуррентно: ${\displaystyle N_{h}=N_{h-1}+N_{h-2}+1}$. Дерево Фибоначчи названо так из-за схожести приведённой формулы с рекуррентным соотношением, определяющим последовательность чисел Фибоначчи. Для высоты ${\displaystyle h}$ число вершин ${\displaystyle N_{h}=\Phi _{h+2}-1}$, где ${\displaystyle \Phi _{n}}$ — ${\displaystyle n}$-ое число Фибоначчи.

См. также

• Дерево
  • Двоичное дерево
    • Двоичное дерево поиска
      • АВЛ-дерево
• Числа Фибоначчи
• Фибоначчи