Группа перестановок ранга 3

Группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на множестве так, что стабилизатор точки имеет 3 орбиты^[1]. Изучение этих групп начал Дональд Хигман^[2][3]. Некоторые спорадические простые группы были открыты как группы перестановок ранга 3.

Классификация

Примитивные группы перестановок ранга 3 распадаются на следующие классы:

• Камерон^[4] классифицировал группы, такие, что ${\displaystyle T\times T\leqslant G\leqslant T_{0}\operatorname {wr} Z/2Z}$, где цоколь T группы T₀ прост, а T₀ является 2-транзитивной группой степени ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.
• Либек^[5] классифицировал группы с регулярными элементарными абелевыми нормальными подгруппами
• Баннай^[6] классифицировал группы, цоколь которых является простой знакопеременной группой
• Кантор^[7] классифицировал группы, цоколь которых является простой классической группой
• Либек и Саксл^[8] классифицировали группы, цоколь которых является простой классической исключительной или спорадической группой

Пример

Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S, то её действие на пары элементов S является группой перестановок ранга 3^[9]. В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и групп Матьё имеют 4-транзитивные действия, а потому принадлежат группам перестановок ранга 3.

Проективная полная линейная группа, действующая на прямые в проективном пространстве размерности как минимум 3, является группой перестановок ранга 3.

Некоторые группы 3-перестановок^[англ.] являются группами перестановок ранга 3 (по действию на перестановки).

Как правило, точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одну из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это даёт некоторые «цепочки» групп перестановок ранга 3, такие как цепочка Судзуки^[англ.] и цепочка, завершающаяся группами Фишера.

Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 перечислены ниже (многие из них взяты из работы Либека и Саксла^[8]).

Для каждой строки таблицы ниже, в столбце «размер» число слева от знака равно показателю группы перестановок^[10] перестановочной группы для группы перестановок, упомянутой в строке. Сумма справа от знака равно показывает длину трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы означает, что группа перестановок имеет показатель 15 и длины трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок равны 1, 6 и 8 соответственно.

Группа	Стабилизатор точки	размер	Комментарии
${\displaystyle \mathrm {A} _{6}=\mathrm {L} _{2}(9)=}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{4}(2)^{\prime }=\mathrm {M} _{1}0^{\prime }}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{4}}$	15 = 1+6+8	Пары точек или множества из 3 блоков по 2 в 6-точечном представлением перестановок; два класса
${\displaystyle \mathrm {A} _{9}}$	${\displaystyle \mathrm {L} _{2}(8):3}$	120 = 1+56+63	Проективная прямая P1(8); два класса
${\displaystyle \mathrm {A} _{10}}$	${\displaystyle (\mathrm {A} _{5}\times \mathrm {A} _{5}):4}$	126 = 1+25+100	Множество 2 блоков из 5 в естественном 10-точечном представлении перестановок
${\displaystyle \mathrm {L} _{2}(8)}$	${\displaystyle 7:2=\mathrm {Dih} (7)}$	36 = 1+14+21	Пары точек в P1(8)
${\displaystyle \mathrm {L} _{3}(4)}$	${\displaystyle \mathrm {A} _{6}}$	56 = 1+10+45	Гиперовалы в P2(4); три класса
${\displaystyle \mathrm {L} _{4}(3)}$	${\displaystyle \mathrm {PSp} _{4}(3):2}$	117 = 1+36+80	Симплектические полярности P3(3); два класса
${\displaystyle \mathrm {G} _{2}(2)^{\prime }=\mathrm {U} _{3}(3)}$	${\displaystyle \mathrm {PSL} _{3}(2)}$	36 = 1+14+21	цепочка Судзуки^[англ.]
${\displaystyle \mathrm {U} _{3}(5)}$	${\displaystyle \mathrm {A} _{7}}$	50 = 1+7+42	Действие на вершины графа Хоффмана — Синглтона; три класса
${\displaystyle \mathrm {U} _{4}(3)}$	${\displaystyle \mathrm {L} _{3}(4)}$	162 = 1+56+105	Два класса
${\displaystyle \mathrm {Sp} _{6}(2)}$	${\displaystyle \mathrm {G} _{2}(2)=\mathrm {U} _{3}(3):2}$	120 = 1+56+63	Группа Шевалле типа G2, действующая на алгебру октонионов над GF(2)
${\displaystyle \mathrm {\Omega } _{7}(3)}$	${\displaystyle \mathrm {G} _{2}(3)}$	1080 = 1+351+728	Группа Шевалле типа G2, действующая на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF(3); два класса
${\displaystyle \mathrm {U} _{6}(2)}$	${\displaystyle \mathrm {U} _{4}(3):2_{2}}$	1408 = 1+567+840	Стабилизатор точки является образом линейного представления, получающегося от «понижения» комплексного представления группы Митчела (комплексной группы отражений) по модулю 2; три класса
M11	${\displaystyle \mathrm {M} _{9}:2=3^{2}:\mathrm {SD} _{16}}$	55 = 1+18+36	Пары точек в 11-точечном представлении перестановок
M12	${\displaystyle \mathrm {M} _{10}:2=\mathrm {A} _{6}.2^{2}=}$ ${\displaystyle \mathrm {P{\Gamma }L} (2,9)}$	66 = 1+20+45	Пары точек или пары комплементарных блоков S(5,6,12) в 12-точечном представлении перестановок; два класса
M22	2^4:A6	77 = 1+16+60	Блоки S(3,6,22)
J2	${\displaystyle \mathrm {U} _{3}(3)}$	100 = 1+36+63	цепочка Судзуки^[англ.]; действие на вершины графа Холла — Янко
Группа Хигмана — Симса HS^[англ.]	M22	100 = 1+22+77	Действие на вершины графа Хигмана — Симса
M22	${\displaystyle \mathrm {A} _{7}}$	176 = 1+70+105	Два класса
M23	${\displaystyle \mathrm {M} _{21}:}$ ${\displaystyle 2=\mathrm {L} _{3}(4):2_{2}}$ ${\displaystyle =\mathrm {P{\Sigma }L} (3,4)}$	253 = 1+42+210	Пары точек в 23-точечном представлении перестановок
M23	${\displaystyle 2^{4}:\mathrm {A} _{7}}$	253 = 1+112+140	Блоки S(4,7,23)
Группа МакЛафлина McL^[англ.]	${\displaystyle \mathrm {U} _{4}(3)}$	275 = 1+112+162	Действие на вершины графа МакЛафлина^[англ.]
M24	${\displaystyle \mathrm {M} _{22}:2}$	276 = 1+44+231	Пары точек в 24-точечном представлении перестановок
G2(3)	${\displaystyle \mathrm {U} _{3}(3):2}$	351 = 1+126+244	Два класса
G2(4)	J2	416 = 1+100+315	цепочка Судзуки^[англ.]
M24	${\displaystyle \mathrm {M} _{12}:2}$	1288 = 1+495+792	Пары комплементарных 12-точечных множеств в 24-точечном представлении перестановок
Группа Судзуки Suz^[англ.]	${\displaystyle \mathrm {G} _{2}(4)}$	1782 = 1+416+1365	цепочка Судзуки^[англ.]
G2(4)	${\displaystyle \mathrm {U} _{3}(4):2}$	2016 = 1+975+1040
Co2^[англ.]	${\displaystyle \mathrm {PSU} _{6}(2):2}$	2300 = 1+891+1408
Группа Рудвалиса Ru	^2F4(2)	4060 = 1+1755+2304
Fi22^[англ.]	${\displaystyle 2.\mathrm {PSU} _{6}(2)}$	3510 = 1+693+2816	3-перестановки^[англ.]
Fi22^[англ.]	${\displaystyle \mathrm {\Omega } _{7}(3)}$	14080 = 1+3159+10920	Два класса
Fi23^[англ.]	2.Fi22	31671 = 1+3510+28160	3-перестановки^[англ.]
${\displaystyle \mathrm {G} _{2}(8).3}$	${\displaystyle \mathrm {SU} _{3}(8).6}$	130816 = 1+32319+98496
Fi23^[англ.]	${\displaystyle \mathrm {P\Omega } _{8}^{+}(3).\mathrm {S} _{3}}$	137632 = 1+28431+109200
Fi24^[англ.] '	Fi23	306936 = 1+31671+275264	3-перестановки^[англ.]

Примечания

1. Не следует путать с группой 3-перестановок, которая представляет перестановки трёх элементов. На русском языке названия групп почти совпадают, на английском языке первая называется rank 3 permutation group, вторая — 3-transposition group.
2. Higman, 1964.
3. Higman, 1971.
4. Cameron, 1981.
5. Liebeck, 1987.
6. Bannai, 1971–72.
7. Kantor, Liebler, 1982.
8. Liebeck, Saxl, 1986.
9. . Тремя орбитами являются: сама фиксированная пара; пары, имеющие общий элемент с фиксированной парой; пары, не имеющие общих элементов с фиксированной парой.
10. Когда обсуждается группа перестановок на множестве из n элементов, показатель группы — это число элементов в множестве, т.е. n. Не следует путать с порядком группы. Если G является группой общего вида, пусть ${\displaystyle \delta (G)}$ означает наименьшее ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, такое, что G изоморфна подгруппе симметрической группы S. Число ${\displaystyle \delta (G)}$ называется показателем группы G (Berkovich 1999). См. также Группа перестановок.

Литература

• Eiichi Bannai. Maximal subgroups of low rank of finite symmetric and alternating groups // Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics. — 1971–72. — Т. 18. — С. 475–486. — ISSN 0040-8980.
• Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-regular graphs. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989. — Т. 18. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]). — ISBN 978-3-540-50619-5.
• Peter J. Cameron. Finite permutation groups and finite simple groups // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1981. — Т. 13, вып. 1. — С. 1–22. — ISSN 0024-6093. — doi:10.1112/blms/13.1.1.
• Donald G. Higman. Finite permutation groups of rank 3 // Mathematische Zeitschrift. — 1964. — Т. 86. — С. 145–156. — ISSN 0025-5874. — doi:10.1007/BF01111335.
• Donald G. Higman. A survey of some questions and results about rank 3 permutation groups // Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970). — Gauthier-Villars, 1971. — Т. 1. — С. 361–365. Архивная копия от 25 ноября 2017 на Wayback Machine
• William M. Kantor, Robert A. Liebler. The rank 3 permutation representations of the finite classical groups // Transactions of the American Mathematical Society. — 1982. — Т. 271, вып. 1. — С. 1–71. — ISSN 0002-9947. — doi:10.2307/1998750.
• Martin W. Liebeck. The affine permutation groups of rank three // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1987. — Т. 54, вып. 3. — С. 477–516. — ISSN 0024-6115. — doi:10.1112/plms/s3-54.3.477.
• Martin W. Liebeck, Jan Saxl. The finite primitive permutation groups of rank three // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1986. — Т. 18, вып. 2. — С. 165–172. — ISSN 0024-6093. — doi:10.1112/blms/18.2.165.
• Yakov Berkovich. The Degree and Index of a Finite Group // Journal of Algebra. — 1999. — Т. 214,. — С. 740-761. (недоступная ссылка)