Граф Хоффмана — Синглтона

граф Хоффмана – Синглтона
Назван в честь	Алан Хоффман Роберт Р. Синглтон
Вершин	50
Рёбер	175
Радиус	2
Диаметр	2[1]
Обхват	5[1]
Автоморфизмы	252,000 (PSU^[англ.](3,5^2):2) [2]
Хроматическое число	4
Хроматический индекс	7 [3]
Род	29 [4]
Свойства	Сильно регулярный Симметричный Гамильтонов Целочисленный Клетка Граф Мура
Медиафайлы на Викискладе

Граф Хоффмана — Синглтона. Подграф с синими рёбрами является суммой десяти непересекающихся пентагонов.

Граф Хоффмана — Синглтона — 7-однородный неориентированный граф с 50 вершинами и 175 рёбрами. Граф является единственным сильно регулярным графом с параметрами ${\displaystyle (50,7,0,1)}$^[5]. Граф был построен Аланом Хоффманом и Робертом Синглтоном, когда они пытались классифицировать все графы Мура, и он является графом Мура с наибольшим порядком, для которого известно, что такой граф существует^[6]. Поскольку граф является графом Мура, в котором каждая вершина имеет степень 7, а обхват графа равен 5, граф является клеткой ${\displaystyle (7,5)}$.

Построение

Существует много путей построения графов Хоффмана — Синглтона.

Построение на основе пятиугольников и пентаграмм

Возьмём 5 пятиугольников ${\displaystyle P_{h}}$ и 5 пентаграмм ${\displaystyle Q_{i}}$ так, что вершина ${\displaystyle j}$ пятиугольника ${\displaystyle P_{h}}$ смежна вершинам ${\displaystyle j-1}$ и ${\displaystyle j+1}$ пятиугольника ${\displaystyle P_{h}}$ и вершина ${\displaystyle j}$ пентаграммы ${\displaystyle Q_{i}}$ смежна вершинам ${\displaystyle j-2}$ и ${\displaystyle j+2}$ пентаграммы ${\displaystyle Q_{i}}$. Свяжем вершину ${\displaystyle j}$ графа ${\displaystyle P_{h}}$ с вершиной ${\displaystyle h\bullet {i}+j}$ графа ${\displaystyle Q_{i}}$. (Все индексы берутся по модулю 5.)

Построение из троек и плоскостей Фано

Возьмём плоскость Фано и рассмотрим переставки её 7 точек, чтобы получить 30 плоскостей Фано. Выберем одну из этих плоскостей. Имеется 14 других плоскостей Фано, имеющих в точности одну общую тройку («прямую») с выбранной плоскостью. Возьмём эти 15 плоскостей Фано и отбросим оставшиеся 15. Рассмотрим ⁷C₃ = 35 троек из 7 чисел. Теперь соединим (ребром) тройку с плоскостями Фано, содержащими эту тройку, а также соединим непересекающиеся тройки друг с другом. Получившийся граф является графом Хоффмана — Синглтона, он состоит из 50 вершин, соответствующих 35 тройкам и 15 плоскостям Фано, и каждая вершина имеет степень 7. Вершины, соответствующие плоскостям Фано, соединены с 7 тройками по определению, поскольку плоскость Фано имеет 7 прямых. Каждая тройка связана с 3 различными плоскостями Фано, включающими её, и с 4 другими тройками, с которыми она не пересекается.

Алгебраические свойства

Группа автоморфизмов графа Хоффмана — Синглтона является группой порядка 252000 и изоморфна PΣU(3,5²), полупрямому произведению проективной специальной унитарной группы^[англ.] ${\displaystyle PSU(3,5^{2})}$ и циклической группы порядка 2, сгенерировнной эндоморфизмом Фробениуса. Автоморфизм действует транзитивно на вершины и рёбра графа. Таким образом, граф Хоффмана — Синглтона является симметричным графом. Стабилизатор вершин графа изоморфен симметрической группе ${\displaystyle S_{7}}$ на 7 буквах. Стабилизатор множества рёбер изоморфен ${\displaystyle Aut(A_{6})=A_{6}\cdot 2^{2}}$, где ${\displaystyle A_{6}}$ — знакопеременная группа на 6 буквах. Оба типа стабилизаторов являются максимальными подгруппами полной группы автоморфизмов графа Хоффмана — Синглтона.

Характеристический многочлен графа Хоффмана — Синглтона равен ${\displaystyle (x-7)(x-2)^{28}(x+3)^{21}}$. Таким образом, граф Хоффмана — Синглтона является целочисленным — его спектр состоит полностью из целых чисел.

Подграфы

Используя только факт, что граф Хоффмана — Синглтона является строго регулярным с параметрами ${\displaystyle (50,7,0,1)}$, можно показать, что в нём существует 1260 циклов длины 5.

Кроме того, граф Хоффмана — Синглтона содержит 525 копий графа Петерсена. Удаление одного из них даёт копию единственной ${\displaystyle (6,5)}$-клетки^[7].

См. также

• Таблица наибольших известных графов заданного диаметра и максимальной степени^[англ.]

Примечания

1. Weisstein, Eric W. Hoffman-Singleton Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. Hafner, 2003, с. 7-12.
3. Royle.
4. Conder, Stokes, 2014.
5. Brouwer.
6. Hoffman, Singleton, 1960, с. 497–504.
7. Wong, 1979, с. 407–409.

Литература

• P. R. Hafner. The Hoffman-Singleton Graph and Its Automorphisms // J. Algebraic Combin. — 2003. — Т. 18.
• G. Royle. Re: What is the Edge Chromatic Number of Hoffman-Singleton?  (неопр.) [e-mail] posting. (28 сентября 2004). (недоступная ссылка)
• M.D.E. Conder, K. Stokes. Minimum genus embeddings of the Hoffman-Singleton graph // preprint. — 2014.
• C. T. Benson, N. E. Losey. On a graph of Hoffman and Singleton // Journal of Combinatorial Theory. Series B. — Т. 11, вып. 1. — С. 67–79. — ISSN 0095-8956. — doi:10.1016/0095-8956(71)90015-3.
• D.A. Holton, J. Sheehan. The Petersen graph. — Cambridge University Press, 1993. — С. 186, 190. — ISBN 0-521-43594-3..
• Andries E. Brouwer. Hoffman-Singleton graph  (неопр.). Дата обращения: 7 сентября 2016. Архивировано 3 марта 2016 года.
• Alan J. Hoffman, Robert R. Singleton. Moore graphs with diameter 2 and 3 // IBM Journal of Research and Development. — 1960. — Т. 5, вып. 4. — С. 497–504. — doi:10.1147/rd.45.0497.
• Pak-Ken Wong. On the uniqueness of the smallest graph of girth 5 and valency 6 // Journal of Graph Theory. — 1979. — Т. 3. — С. 407–409. — doi:10.1002/jgt.3190030413.