Заниматься фигурным катанием Алексей начал в 4 года. С 1977 его тренером была Нина Николаевна Монахова, с 1979 — Наталья Витальевна Голубева. Она тренировала Урманова в клубе СКА (Ленинград). С сезона 1989-1990 годов его тренером стал Алексей Николаевич Мишин. С ним он стал вице-чемпионом мира на юниорском чемпионате мира в США.
На чемпионате СССР в Минске в декабре 1990 занял 3-е место, впервые в истории абсолютно безошибочно исполнив четверной прыжок — тулуп (до этого ИСУ засчитало исполнение четверного в 1988 годуК.Браунингом, однако на выезде тот сделал ошибку) и стал членом сборной СССР, СНГ, затем — России (до 1998) по фигурному катанию. В 1991 дебютировал на чемпионате Европы, вновь исполнив чисто прыжок в четыре оборота, повторил его и на чемпионате мира 1991. В декабре 1991 года в Киеве стал последним чемпионом СССР по фигурному катанию.
Бронзовый призёр чемпионата мира 1993 и неоднократный призёр чемпионатов Европы по фигурному катанию на коньках (в том числе чемпион в 1997). Олимпийский чемпион в мужском одиночном катании (1994), выиграл и техническую и произвольную программу благодаря чистому исполнению всех элементов (в произвольной среди всех участников выполнил наибольшее количество тройных прыжков — 8, включая два тройных акселя).
C 2001 года по 2015 год работал тренером в спортивной детско-юношеской школе Олимпийского резерва (СДЮШОР) при Дворце спорта «Юбилейный» и Академии фигурного катания. Его самым успешным учеником является двукратный чемпион России — Сергей Воронов.
В 2000 году снялся в документально-художественном фильме об истории фигурного катания в России и СССР — «Ледяное сияние звёзд» (режиссёр Н. В. Орлов), где выступил в роли одного из рассказчиков.