Упаковка кругов в правильном треугольнике

Задача упаковки кругов в правильный треугольник — это задача упаковки, в которой требуется упаковать n единичных окружностей в наименьший правильный треугольник. Оптимальные решения известны для n < 13 и для любого треугольного числа кругов. Имеются гипотезы для числа кругов n < 28^[1][2][3].

Гипотеза Пала Эрдёша и Нормана Олера утверждает, что в случае, когда n является треугольным числом, оптимальная упаковка n − 1 и n кругов имеет одну и ту же длину стороны. То есть, согласно гипотезе, оптимальное решение для n − 1 кругов можно получить путём удаление одного круга из оптимальной шестиугольной упаковки n кругов^[4][5].

Минимальные по длине стороны треугольника решения^[1]:

Число кругов	Длина стороны треугольника
1	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$ = 3.464...
2	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}}$ = 5.464...
3	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}}$ = 5.464...
4	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$ = 6.928...
5	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}}$ = 7.464...
6	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}}$ = 7.464...
7	${\displaystyle 2+4{\sqrt {3}}}$ = 8.928...
8	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}}$ = 9.293...
9	${\displaystyle 6+2{\sqrt {3}}}$ = 9.464...
10	${\displaystyle 6+2{\sqrt {3}}}$ = 9.464...
11	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}}$ = 10.730...
12	${\displaystyle 4+4{\sqrt {3}}}$ = 10.928...
13	${\displaystyle 4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}}$ = 11.406...
14	${\displaystyle 8+2{\sqrt {3}}}$ = 11.464...
15	${\displaystyle 8+2{\sqrt {3}}}$ = 11.464...

Близкая задача — покрытие правильного треугольника заданным числом кругов с как можно меньшим радиусом^[6].

См. также

• Упаковка кругов в прямоугольном равнобедренном треугольнике^[англ.]
• Окружности Мальфатти, построение, дающее оптимальное решение для трёх кругов в равнобедренном треугольнике

Примечания

1. Melissen, 1993, с. 916–925.
2. Melissen, Schuur, 1995, с. 333–342.
3. Graham, Lubachevsky, 1995, с. 39 Article 1.
4. Oler, 1961, с. 153–155.
5. Payan, 1997, с. 555–565.
6. Nurmela, 2000, с. 241–250.

Литература

• Hans Melissen. Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle // The American Mathematical Monthly. — 1993. — Т. 100, вып. 10. — С. 916–925. — doi:10.2307/2324212.
• J. B. M. Melissen, P. C. Schuur. Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle // Discrete Mathematics. — 1995. — Т. 145, вып. 1-3. — С. 333–342. — doi:10.1016/0012-365X(95)90139-C.
• Ronald Graham, B. D. Lubachevsky. Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond // Electronic Journal of Combinatorics. — 1995. — Т. 2. — С. Article 1, approx. 39 pp. (electronic).
• Norman Oler. A finite packing problem // Canadian Mathematical Bulletin. — 1961. — Т. 4. — С. 153–155. — doi:10.4153/CMB-1961-018-7.
• Charles Payan. Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler (Fr) // Discrete Mathematics. — 1997. — Т. 165/166. — С. 555–565. — doi:10.1016/S0012-365X(96)00201-4.
• Kari J. Nurmela. Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles // Experimental Mathematics. — 2000. — Т. 9, вып. 2. — С. 241–250. — doi:10.1080/10586458.2000.10504649.