Судо́ку[1] (от яп. 数独 су:доку) — головоломка с числами. Судоку является латинским квадратом 9-го порядка. Иногда судоку называют магическим квадратом, это обозначение неверно. Судоку активно публикуют газеты и журналы многих стран мира, сборники судоку издаются большими тиражами. Решение головоломки — популярный вид досуга.
Игровое поле представляет собой квадрат размером 9×9, разделённый на меньшие квадраты со стороной в 3 клетки. Таким образом, всё игровое поле состоит из 81 клетки. В них уже в начале игры стоят некоторые числа (от 1 до 9), называемые подсказками. От игрока требуется заполнить свободные клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждом квадрате 3×3 каждая цифра встречалась только один раз.
Правильно составленная головоломка имеет только одно решение. Тем не менее, на некоторых интернет-сайтах, под видом усложнённых головоломок пользователю предлагаются варианты судоку с несколькими вариантами решения, а также с ветвлениями самого хода решения.
Сложность судоку зависит от количества изначально заполненных клеток и методов, которые нужно применять для её решения. Самые простые решаются дедуктивно: всегда есть хотя бы одна клетка, куда подходит только одно число. Некоторые головоломки можно решить за несколько минут, на другие можно потратить несколько часов.
В 2012 году финский математик Арто Инкала заявил, что разработал «самую трудную в мире судоку», которая получила название «Эверест». Если самые простые из распространённых вариантов судоку по шкале сложности обозначить, как «1», а наиболее сложные из популярных оценить на «5», то предложенный математиком вариант имеет сложность «11»[2].
В XVIII веке Леонард Эйлер изобрёл игру «Carré latin» («Латинский квадрат»). С конца XIX века многие французские газеты издавали похожую головоломку[3][4].
Изобретателем головоломки в современном виде, вероятно, является 74-летний архитектор Говард Гарнс. Впервые она была опубликована в 1979 году под названием Number Place американской компанией Dell Magazines, которая занималась изданием журналов, книг и комиксов[5][6].
В Японии игра была впервые представлена Маки Кадзи в апреле 1984 года под названием «Sūji wa dokushin ni kagiru» (яп. 数字は独身に限る), что в данном случае переводится как «Цифры должны быть одни». Слово из кандзи (яп. 独身) имеет обозначение «Одинокий человек, не состоящий в отношениях». Позже название головоломки было сокращено лишь до двух кандзи (яп. 数独) и появилось известное на весь мир обозначение. Судоку является зарегистрированным брендом в Японии[7]. Также игра известна под названиями (яп. ナンバープレース, намба: пурэ:су) или в кратком варианте (яп. ナンプレ, нампурэ)[5]. В 1986 году Nikoli представили свою версию головоломки[6][8].
Сегодня судоку — обязательный компонент многих газет[9]. Среди них много изданий с многомиллионными тиражами: например, немецкая газета Die Zeit[10], австрийский Der Standard[11] и «Асахи Симбун» в Японии. На территории России судоку также публикуются во многих газетах, журналах и специализированных сборниках.
Задача обобщённого судоку на поле N 2 × N 2 {\displaystyle N^{2}\times N^{2}} является NP-полной, так как к ней сводится задача о заполнении латинского квадрата[12].
Количество различных судоку классического размера 9×9 с однозначным решением равно
или примерно 6 , 67 × 10 21 {\displaystyle 6{,}67\times 10^{21}} . Если, однако, считать одинаковыми те судоку, которые получаются друг из друга с помощью поворотов, отражений и перенумерации, то это количество уменьшается до 5 472 730 538 (последовательность A109741 в OEIS[13].
Долгое время оставался открытым вопрос о минимальном количестве подсказок, необходимых для однозначного решения судоку. В частности, не было известно, существует ли однозначно решаемый судоку с 16 подсказками. Проект распределённых вычислений Sudoku@vtaiwan на платформе BOINC занимался поиском такого судоку[14]. В январе 2012 года появилось доказательство того, что однозначно решаемых судоку с 16 подсказками не существует[15].
Лучший метод решения — записывать числа-кандидаты в верхнем левом углу ячейки, а затем вычёркивать невозможные по правилам игры числа из данной ячейки. После этого можно увидеть именно те числа, которые могут занимать данную ячейку. Играть в судоку рекомендуется медленно, так как это расслабляющая игра.
Сначала смотрят на ряды, столбцы и блоки 3×3 с наиболее заполненными квадратами: легче решить там, где вариантов меньше. При заполнении ячейки нужно проверить столбец, ряд и блок 3×3. Нужно проверить, что все другие 8 чисел не дублируются.
Когда в судоку осталось несколько открытых ячеек в блоке 3×3 и только одна ячейка подходит для данного числа, то именно это число нужно записать в данную ячейку. Перед заполнением следует удостовериться, что вписываемое в ячейку число не будет встречаться в другой ячейке в том же столбце, строке или в блоке 3×3.
Когда в одном столбце, строке или блоке 3×3 три любых ячейки имеют числа-кандидаты {1,2; 1,2; 1,3}, то число для третьей ячейки должно быть 3. Потому что если бы это было число 1, то в одной из первых двух ячеек было бы число 2, а в другой не было бы ничего, но такого быть не может, поскольку все клетки должны быть заполнены.
Имеются две стратегии, используемые для увеличения скорости решения головоломки.
Выбрать число, которое было найдено для большинства строк, столбцов или блоков 3×3 в судоку. Для каждого блока 3×3, который не содержит это число, ищутся другие блоки 3×3 в том же ряду и столбце блоков 3×3, которые содержат это «наиболее решённое число» и в решаемом блоке, исключаются места, где это число не может быть вписано в ячейку. Таким образом найдётся единственная ячейка для этого числа.
Пример:
Число 9 встречается 6 раз в шести блоках 3×3. Таким образом, число 9 можно смело ставить в центральном нижнем блоке 3×3 в верхнем левом углу, а также в центральном правом блоке 3×3 в первой ячейке первого ряда. В центральном блоке 3×3 число 9 может стоять только в третьей ячейке второго ряда.
Середина верхнего ряда блоков 3×3 и середина нижнего ряда блоков 3×3 почти полностью заполнены. В середине верхнего блока три нерешённых числа — 1, 4, и 9. Анализируя такую ситуацию, можно вписать число 4 в центр блока, число 1 в правый верхний угол, а число 9 — в левый верхний угол. Аналогично можно поступить с нижним центральным блоком 3×3: в нём отсутствуют числа 6, 8 и 9. Ячейки заполняются последовательно: число 6 ставим в центр, число 9 в нижний правый угол, а число 8 в нижний левый угол.
Наиболее сложные судоку можно решать методом исключения («нить Ариадны»), для этого на отдельном листе в клеточку записывается текущее положение дел, выбирается поле, в котором могут стоять только два числа, при подстановке которых определяется как можно большее число пар в других клетках. Выбирается одно из чисел пары и подставляется в черновик. С вероятностью 50% решение заведёт в тупик — это означает, что выбранное число было неправильным. В таком случае нужно «смотать нить» — вернуться к «развилке», выбрать и подставить другое число. Если не было допущено ошибок в решении, подставленное число будет единственным верным. Подобный подход подробно описал Моулер Клив, создатель пакета для научных расчётов MATLAB[16].
Существует множество вариаций судоку:
Существуют также настольные варианты игры. Подобные игры были изданы по всему миру различными издателями и разработчиками (к примеру, известный разработчик настольных игр Reiner Knizia издал свой вариант этой логической игры). В России можно встретить настольные судоку от фирмы Астрель и польской компании Trefi[17].
Для персональных компьютеров существует достаточно много вариантов данной игры, например:
Существуют несколько версий игры для мобильных телефонов, а также для смартфонов. Эти версии удобны тем, что могут сами создавать условие головоломки. Также они указывают на ошибки (противоречащие цифры подсвечиваются) или могут дать подсказку в решении. 9 цифр в стандартных судоку, назначенные на 9 цифровых кнопок на мобильном телефоне, делают процесс игры очень удобным.
С появлением смартфонов игра заняла достойное место среди самых популярных. С выходом на рынок устройств на базе Android и iOS количество поклонников игры резко возросло.