Параллельное перенесение

Параллельное перенесение вектора по замкнутому контуру на сфере. Угол ${\displaystyle \alpha }$ пропорционален площади внутри контура.

Параллельное перенесение — изоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения ${\displaystyle \eta :E\to B}$, определяемый некоторой заданной связностью на ${\displaystyle E}$. В частности, линейный изоморфизм касательных пространств ${\displaystyle T_{\gamma (0)}(M)}$ и ${\displaystyle T_{\gamma (1)}(M)}$, определяемый вдоль кривой ${\displaystyle \gamma \in M}$ некоторой заданной на ${\displaystyle M}$ аффинной связностью.

Параллельное перенесение по аффинной связности

Пусть на гладком многообразии ${\displaystyle M}$ задана аффинная связность. Говорят, что вектор ${\displaystyle X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)}$ получен параллельным перенесением из вектора ${\displaystyle X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)}$ вдоль не имеющей самопересечений гладкой кривой ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$, если в окрестности этой кривой существует гладкое векторное поле ${\displaystyle X}$ со следующими свойствами:

• выполняются равенства ${\displaystyle X(\gamma (0))=X_{0}}$ и ${\displaystyle X(\gamma (1))=X_{1}}$;
• для любого значения ${\displaystyle t\in [0,1]}$ выполняется равенство ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0}$, где символ ${\displaystyle \nabla }$ обозначает ковариантную производную, а ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ есть вектор скорости ${\displaystyle \gamma }$.

Замечание. Так как в локальных координатах справедливо равенство:

${\displaystyle (\nabla _{\dot {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\cdot X^{j}{\dot {\gamma }}^{k}}$,

и в этом выражении нет частных производных от компонент вектора ${\displaystyle X}$, в определении параллельного перенесения не обязательно требовать, чтобы векторное поле ${\displaystyle X}$ было определено в целой окрестности пути ${\displaystyle \gamma (t)}$, достаточно, чтобы оно существовало и было гладким вдоль одного только этого пути.

Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её не имеющих самопересечений гладких кусков.

На основе понятия параллельного переноса вектора определяются понятия параллельного переноса тензора произвольной валентности.

Свойства параллельного перенесения векторов

• Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решение задачи Коши произвольного линейного ОДУ продолжается неограниченно вдоль любой гладкой кривой, поэтому задавая вектор в начальной точке и указывая путь параллельного перенесения, этот вектор однозначно переносится в любую точку этого пути.
• При перенесении векторов вдоль одного и того же пути сохраняются все линейные соотношения между ними.
• Перенесение векторов обратимо: достаточно конечные вектора перенести вдоль обратного пути, чтобы получились исходные вектора.
• Как следствие двух предыдущих свойств получается, что оператор параллельного переноса вдоль кривой ${\displaystyle \gamma }$ представляет собой линейный изоморфизм пространств ${\displaystyle T_{\gamma (0)}(M)}$ и ${\displaystyle T_{\gamma (1)}(M)}$.
• Если аффинная связность согласована с метрическим тензором на римановом многообразии (связность Леви-Чивиты), тогда оператор параллельного перенесения является ортогональным, то есть сохраняет скалярные произведения векторов, их длины и углы между ними.
• Важным свойством параллельного перенесения является также независимость результата перенесения от параметризации пути (эквивалентные пути дадут одинаковый результат). В то же время параллельное перенесение вдоль различных кривых обычно приводит к различным результатам.

Связанные определения

• Геодезическая — гладкий путь, у которого касательный вектор в каждой точке получается параллельным перенесением касательного вектора из любой другой точки.
• Группа голономии — группа ${\displaystyle \Phi _{x}}$ автоморфизмов касательного пространства ${\displaystyle T_{x}M}$, определяемая параллельными переносами вдоль замкнутых кусочно гладких кривых. При этом, для связного многообразия ${\displaystyle \Phi _{x}}$ и ${\displaystyle \Phi _{y}}$ всегда сопряжены между собой.

История

Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Миндинг в 1837 указал возможность обобщить её на случай поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с помощью введенного им понятия развертывания кривой ${\displaystyle \gamma \in S}$ на плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивиты, который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай ${\displaystyle n}$-мерного риманова пространства (см. Связность Леви-Чивиты). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.

Литература

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0.