Отображение Шварца — Кристоффеля

Теорема Шварца — Кристоффеля — теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Формулировка

Предположим, что ${\displaystyle P\subset \mathbb {C} }$ — некоторый ${\displaystyle n}$-угольник, а функция ${\displaystyle f}$ осуществляет конформное отображение ${\displaystyle {\mathbb {H} }^{+}}$ на ${\displaystyle P}$. Тогда ${\displaystyle f}$ можно представить в виде

${\displaystyle f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n}(\zeta -a_{k})^{\alpha _{k}-1}d\zeta +C_{2}}$,

где ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ — прообразы вершин ${\displaystyle P}$ на вещественной оси, также называемые акцессорными параметрами, ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на ${\displaystyle \pi }$ (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ — комплексные константы, определяющие поворот, растяжение и сдвиг. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если ${\displaystyle n}$-ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

${\displaystyle f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n-1}(\zeta -a_{k})^{\alpha _{k}-1}d\zeta +C_{2}}$,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$, как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).

• 
  Интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Звезда интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Звезда внутри интеграл Шварца-Кристоффеля