Занимает второе место среди всех вратарей, выходцев из стран бывшего СССР, в НХЛ по количеству побед (353) и лидирует по сухим матчам (59) в регулярных сезонах, а также сыгранных матчей (86), побед (42) и сухих матчей (7) в розыгрышах Кубка Стэнли. По количеству побед и сухих матчей входит в 25 лучших вратарей за всю историю НХЛ.
Уехал в Северную Америку в 1997 году. Провёл сезоны 1997/1998 и 1998/1999 в АХЛ.
Впервые вышел на лёд в НХЛ 1 января 2000 года в составе «Сан Хосе Шаркс» против «Нэшвилл Предаторз». Набоков заменил Стивена Шилдза и отбил все 4 броска. Первый гол пропустил 11 января в игре против «Сент-Луис Блюз» в момент, когда уезжал с площадки для выпускания 6 полевого игрока при розыгрыше отложенного штрафа.
Первый матч в стартовом составе в НХЛ провёл 19 января 2000 года против «Колорадо Эвеланш», ворота которого защищал Патрик Руа. Перед матчем на телеэкране высветилось соотношение побед вратарей в НХЛ: 0 — 427. Матч завершился со счётом 0-0: Набоков отбил все 39 бросков.
Всего в сезоне 1999/2000 Набоков участвовал в 15 матчах НХЛ, однако большей частью выходил на замену. В сезоне 2000/2001 Набоков считался новичком.
Во втором матче сезона 2000/2001 года получил травму основной вратарь «Шаркс» Стивен Шилдз. Тренер Дэррил Саттер доверил ворота не Микке Кипруссоффу, а Набокову. Шансом, которого вратарь ждал так долго, он воспользовался сполна.
В октябре и декабре Набоков был признан лучшим игроком «Акул». В ноябре и декабре — лучшим новичком в НХЛ. В январе был признан игроком недели в НХЛ. Именно за этот сезон Набоков получил Колдер Трофи — приз лучшему новичку НХЛ. Набоков продолжил выступать за Сан-Хосе дальше, как основной вратарь команды и при нём команда лишь раз не смогла выйти в плей-офф (сезон 2002/03) и также один раз не смогла преодолеть первый раунд плей-офф (сезон 2000/01). Но при этом Евгений, проведя 10 сезонов за Сан-Хосе, так и не смог выиграть главный трофей лиги.
После сезона 2009/10 у Набокова закончился контракт с «Шаркс». Он не смог договориться ни с одним клубом НХЛ и 7 июля 2010 года подписал 4-летний контракт с клубом КХЛ СКА. В СКА Евгений не смог показать выразительной игры и 13 декабря по обоюдному согласию контракт был расторгнут с официальной формулировкой «по семейным обстоятельствам»[3].
21 января 2011 года Евгений Набоков подписал контракт с «Детройт Ред Уингз» до конца сезона и в соответствии с регламентом НХЛ был выставлен на драфт отказов, откуда вратаря забрал «Нью-Йорк Айлендерс»[4], но Евгений отказался выступать за «островитян»[5]. В свою очередь руководство «Айлендерс» заблокировало контракт Набокова и для продолжения игры в НХЛ ему пришлось отработать этот контракт. Сезон 2011/12 Евгений начал в составе «Айлендерс», а по ходу сезона продлил контракт с командой ещё на год, закрепившись в составе в качестве основного вратаря. В июле 2013 года «Нью-Йорк Айлендерс» вновь продлил на год контракт с Набоковым[6].
Перед сезоном 2014/2015 подписал контракт с «Тампа-Бэй Лайтнинг», однако в начале 2015 года был выставлен на драфт отказов, а 9 февраля 2015 был обменян в «Сан-Хосе Шаркс»[7]. 11 февраля 2015 объявил о завершении карьеры[8].
С 2015 по 2019 годы Набоков работал скаутом и тренером по развитию вратарей в «Сан-Хосе Шаркс». 11 ноября 2019 года был назначен на пост тренера вратарей «Сан-Хосе»[9][10].
Сын Андрей (род. 2007) играет за юниорскую команду «Лос-Анджелес Джуниор Кингз» нападающим.
Лучший вратарь турнира по мнению директората IIHF, вратарь символической сборной турнира.
Принимал участие в «Матчах всех звёзд» НХЛ: в 2001 и 2008 годах.
Является одним из всего 10 вратарей, забросивших шайбу в матче НХЛ («Сан-Хосе Шаркс» — «Ванкувер Кэнакс» 10 марта2002 года)[11] и единственным вратарем, забросившим шайбу в большинстве[12].