Коэффициент масштаба

Коэффицие́нт масшта́ба — это параметр вероятностного распределения. Физически конкретное значение данного параметра может быть связано с выбором шкалы измерения.

Определение

Пусть дано параметрическое семейство вероятностных распределений, характеризованных их функцией вероятности или плотностью вероятности ${\displaystyle f(x;a)}$, где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,\;a>0}$ — фиксированный параметр. Этот параметр называется коэффициентом масштаба, если имеет место представление:

${\displaystyle f(x;a)={\frac {1}{a}}\,f\left({\frac {x}{a}}\right)}$,

где ${\displaystyle f(x)}$ — фиксированная функция вероятности или плотность вероятности.

Замечание

• Легко видеть, что если ${\displaystyle f(x)}$ — функция или плотность вероятности, то и ${\displaystyle f(x;a)}$ соответственно функция или плотность вероятности для любого ${\displaystyle a>0}$.

Пример

Пусть случайная величина ${\displaystyle X}$ представляет собой рост в метрах случайно выбранного человека. Предположим, что распределение ${\displaystyle X}$ имеет плотность ${\displaystyle f_{X}(x)}$. Определим случайную величину ${\displaystyle Y}$ как рост случайно выбранного человека в сантиметрах. Тогда её плотность имеет вид

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{100}}\,f_{X}\left({\frac {y}{100}}\right)}$.

См. также

• Коэффициент сдвига