Функция вероятности

Не следует путать с функцией распределения.

Функции вероятности для биномиальных распределений с разными параметрами

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — функция, возвращающая вероятность того, что дискретная случайная величина ${\displaystyle X}$ примет определённое значение. Например, пусть ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$ — функция вероятности, тогда вероятность того, что ${\displaystyle X}$ примет значение равное 13, вычисляется подстановкой значения ${\displaystyle X=13}$ в функцию ${\displaystyle p(X)=p(13)}$, которая уже возвращает вероятность, например, 0.5 — это означает, что вероятность получить число 13 равна 0.5.

Если ${\displaystyle X}$ — скалярная случайная величина, функция вероятности задаётся таблицей возможных значений с соответствующими вероятностями (${\displaystyle x_{i},\,p_{i}}$); такая таблица носит название «ряд распределения»^[1].

Функция вероятности — это наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Она играет ту же роль, что и плотность вероятности для непрерывной случайной величины (однако в последней ситуации речь идёт не о вероятности реализации конкретного значения ${\displaystyle X}$, а о вероятности попадании значения случайной величины в заданный интервал, которая находится интегрированием плотности вероятности по этому интервалу).

Определения

Функция произвольной вероятности

Пусть ${\displaystyle \mathbb {P} }$ является вероятностной мерой на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то есть определено вероятностное пространство ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\mathbb {P} \right)}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ обозначает борелевскую σ-алгебру на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель ${\displaystyle \mathbb {P} }$ не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ такое, что ${\displaystyle \mathbb {P} (X)=1}$.

Функция ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$, определённая следующим образом:

${\displaystyle p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus X,\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle \mathbb {P} }$ — дискретная вероятностная мера, называется функцией вероятности ${\displaystyle \mathbb {P} }$. Здесь важно понимать, что ${\displaystyle \mathbb {P} }$ - это функция, определённая на множествах, а не на числах, в то время как ${\displaystyle p(x)}$, будучи определённой через ${\displaystyle \mathbb {P} }$, уже является функцией определённой над числами.

Функция вероятности дискретной случайной величины

Пусть ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ (${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$) — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует (наводит) вероятностную меру ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности ${\displaystyle p_{X}}$ дискретной случайной величины ${\displaystyle X}$ имеет вид:

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)}$,

или

${\displaystyle p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} ,}$

где ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}}$ — множество значений, которые принимает ${\displaystyle X}$.

Свойства функции вероятности

Из свойств вероятности очевидно^[кому?] следует:

• ${\displaystyle p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1}$.
• Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:

${\displaystyle F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')}$.

• Если ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2})}$, то

${\displaystyle \sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1})}$,

${\displaystyle \sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2})}$,

где ${\displaystyle p_{X_{1},X_{2}}}$ — функция вероятности вектора ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$, а ${\displaystyle p_{X_{i}}}$ — функция вероятности величины ${\displaystyle X_{i},\;i=1,2}$. Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности ${\displaystyle n>2}$.

• Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид:

${\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})\,p_{i}}$,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений

• Распределение Бернулли;
• Биномиальное распределение;
• Геометрическое распределение;
• Гипергеометрическое распределение;
• Логарифмическое распределение;
• Отрицательное биномиальное распределение;
• Распределение Пуассона;
• Дискретное равномерное распределение;
• Мультиномиальное распределение.

См. также

• Плотность вероятности

Примечания

1. Е. С. Вентцель, А. А. Овчаров Теория вероятностей. М.:Наука (1973), см. с. 88.