Климов начинал карьеру одиночником, был девятым на Первенстве России среди юниоров (2007). После перехода в парное катание выступал с Марией Чащиной и Александрой Малаховой, с каждой из которых катался на протяжении одного сезона. В 2009 году образовал дуэт с Ксенией Столбовой, в паре с ней добился основных успехов в карьере. После завершения карьеры стал тренером по фигурному катанию и функционером Международного союза конькобежцев.
Заслуженный мастер спорта России (2014). По состоянию на март 2016 года Столбова и Климов занимали второе место в рейтинге Международного союза конькобежцев[2].
Мать Фёдора работает тренером по фигурному катанию, поэтому, по его словам, у него «не было выбора»[3], и он начал кататься на коньках в четыре года. В 16 лет он перешёл в парное катание по предложению своего тренера. На юниорском уровне Фёдор выступал с Александрой Малаховой и Марией Чащиной, пока в 2009 году тренер Людмила Великова не объединила его в пару с Ксенией Столбовой[3].
Они прошли в финал юниорского Гран-при в первом же совместном сезоне, но заняли там 7-е место из-за того, что были больны. Затем они выиграли первенство России среди юниоров и завоевали бронзу юниорского чемпионата мира[источник не указан 772 дня].
В сезоне 2010/2011 фигуристы выиграли оба этапа юниорского Гран-при и вышли в финал, где стали вторыми. На дебютном этапе Гран-при среди взрослых Skate America 2010 заняли 5-е место. Второй раз выиграв первенство России среди юниоров, вошли в состав сборной на чемпионат мира среди юниоров, где завоевали серебряные медали[источник не указан 772 дня].
В сезоне 2011/2012 выступили на этапах Гран-при в Париже (не слишком удачно, лишь 7-е место) и Москве (4-е место). На чемпионате России 2012 завоевали серебряные медали, но так как в том чемпионате не участвовали две сильнейшие спортивные пары страны — Татьяна Волосожар и Максим Траньков и Юко Кавагути с Александром Смирновым, то на чемпионат Европы 2012 Столбова и Климов были заявлены лишь запасными[4]. Однако, в начале января 2012 года, пара Кавагути/Смирнов снялась с европейского первенства по медицинским показаниям и Столбова с Климовым заменили их в сборной команде[5]. Дебют на первенстве континента оказался успешным — Столбова и Климов завоевали бронзовые медали[источник не указан 772 дня].
В 2014 году на Зимних Олимпийских играх Ксения и Фёдор стали чемпионами в командных соревнованиях; в частности, в произвольной программе они были первыми, набрав 135.09 балла и принеся сборной 10 очков[6]. 12 февраля 2014 пара завоевала серебряную олимпийскую медаль в личном зачёте.
В 2014-2015 годах постановщиком обеих программ Столбовой и Климова стал Николай Морозов[7].
"Мы с Федором любим динамичную музыку в короткой программе. Именно такое пожелание мы высказали Николаю. Он предложил достаточно необычную музыку - из кинофильма "Крадущийся тигр, затаившийся дракон". Ни у Николая, ни тем более у нас до этого не было опыта работы с китайской музыкой. Поэтому мы втроем специально ездили в китайский народный центр в Нью-Йорке, где взяли полуторачасовой урок хореографии. И вышли оттуда наполненные массой идей, которые и постарались воплотить на льду. Что же касается произвольной, то взять музыку из "Нотр-Дам де Пари" было совместной идеей. Мы лишь сошлись во мнении, что это должна быть не уже набившая оскомину "Бэль", а нарезка из других музыкальных тем", - сказала Столбова.[источник не указан 66 дней]
Пара успешно начала сезон: победа на обоих этапах Гран-при. В финале серии уступили золотые медали канадской паре Дюамель-Редфорд, проводящей (на тот момент и до сих пор) свой лучший сезон. На декабрьском чемпионате России повторили предыдущее достижение, став двукратными чемпионами России[источник не указан 772 дня].
В сезоне 2015-2016 стали первой в истории парой, прыгнувшей каскад 3-3-2[источник не указан 772 дня]. На Финале Гран-При получили 154.6 баллов, что является второй суммой за всю историю новой системы судейства в произвольной программе, тем самым уступив 0.06 мировому рекорду пары Волосожар-Траньков[источник не указан 772 дня]. Однако далее последовала травма у Фёдора и пара снялась с национального и континентального чемпионатов. Лишь через четыре месяца они появились вновь[где?][источник не указан 772 дня]. В начале апреля в Бостоне на мировом чемпионате пара оказалась лучшей из российских, но медалей не выиграли[8].
Новый предолимпийский сезон пара начала, из-за травмы Ксении, в конце декабря; фигуристы выступили в Челябинске на чемпионате России, где в упорной борьбе вернули себе золотую медаль[9]. В конце января они выступали на европейском чемпионате в Остраве, где не сумели войти в число пар призёров[10]. В конце марта российские парники появились на мировом чемпионате в Хельсинки, где замкнули пятёрку лучших пар в мире[11]. При этом они поспособствовали завоеванию трёх путёвок для своей страны на Олимпийские игры.
В начале октября российская пара начала олимпийский сезон в Эспоо, на Трофее Финляндии, где они финишировали с бронзовыми медалями[12]. Через две недели россияне выступали в серии Гран-при на домашнем этапе, где пара финишировала с серебром[13]. Спустя ещё три недели спортсмены приняли участие в японском этапе серии Гран-при, где финишировали с серебряными медалями[14]. Это позволило им выйти в Финал Гран-при. На самом Финале в Нагое пара финишировала рядом с пьедесталом[15]. На национальном чемпионате в середине декабря в Санкт-Петербурге пара финишировала в очередной раз с серебряными медалями[16]. В Москве на континентальном чемпионате в середине января российская пара завоевала в упорной борьбе серебряные медали[17]. Позднее стало известно, что МОК не допустил пару до Олимпийских игр. Фигуристы затем пропустили мировой чемпионат из-за травмы[18].
В межсезонье фигуристы приняли решение прекратить вместе выступать в паре. Далее Фёдор закончил спортивную карьеру и занялся тренерской работой[19]. Летом 2019 года Федор Климов включен в состав технического комитета Международного союза конькобежцев (ISU) одиночного и парного катания как представитель спортсменов[20].
Орден Дружбы (24 февраля2014 года) — за большой вклад в развитие физической культуры и спорта, высокие спортивные достижения на XXII Олимпийских зимних играх 2014 года в городе Сочи[23][24].