Грушевидная квартика

Обзорная статья: Окружность

Не следует путать с аньезианой — гиперболизмом окружности.

Пять форм грушевидной квартики ${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}.}$ Из них фиолетовая - волчок, красная — квартика Бонне, синяя — с тройной вершиной

Грушеви́дная кварти́ка (англ. piriform quartic^[1][2][3], от лат. pirum — плод груши^[1][2] и лат. quartus — четвёртый^[4]; англ. pear-shaped quartic^[1][5][6]; pear-shaped curve^[1]) — антигиперболизм окружности с полюсом на этой окружности и прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсе^[2].

В декартовых координатах грушевидная квартика — это антигиперболизм окружности

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

с радиусом ${\displaystyle a}$ и полюсом в начале координат на окружности и прямой ${\displaystyle x=b}$, имеющий следующее уравнение^{[2][7][8][5][6][3]}:

${\displaystyle (x-a)^{2}+\left(b{\frac {y}{x}}\right)^{2}=a^{2},}$

или

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2};}$

или

${\displaystyle y=\pm {\frac {x}{b}}{\sqrt {2ax-x^{2}}}.}$

Полагают, что ${\displaystyle a\neq 0}$ и ${\displaystyle b\neq 0}$:

• при ${\displaystyle a=0}$ грушевидная квартика вырождается в точку ${\displaystyle (0,\,0);}$
• при ${\displaystyle b=0}$ грушевидная квартика вырождается в две прямые ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=2a.}$

Относится к плоским алгебраически кривым 4-го порядка^{[2][7][5][6][3]}.

Грушевидная квартика — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами^[7]:

• ограниченная и замкнутая;
• связная;
• имеет одну особую точку — касп;
• имеет одну ось симметрии.

Базовая окружность есть гиперболизм грушевидной квартики^[8].

Грушевидную квартику изучали английский математик Джон Валлис в 1685 году, французский математик Пьер Бонне в 1844 году^[2] и французский математик Гастон Сели-Лонгшан^[англ.] в 1886 году^[1][5].

Определения грушевидной квартики

Определение и уравнение

Грушеви́дная кварти́ка (англ. piriform quartic^[1][2][3]; pear-shaped quartic^[1][5][6]; pear-shaped curve^[1]) — антигиперболизм окружности ${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ радиуса ${\displaystyle a}$ с началом координат на окружности и прямой ${\displaystyle x=b}$, перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координат^[2], определяется следующим уравнением в декартовых координатах^[8]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}}$

или

${\displaystyle y=\pm {\frac {x}{b}}{\sqrt {2ax-x^{2}}}.}$

Синонимы:

• капля (англ. drop of water)^[2];
• колышек (англ. peg-top)^[1][2].

Грушевидная квартика — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами^[7]:

• ограниченная и замкнутая;
• связная;
• имеет одну особую точку — касп;
• имеет одну ось симметрии.

Приведённое выше уравнение грушевидной квартики в декартовой системе координат

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}}$

(с площадью ${\displaystyle S={\frac {\pi a^{3}}{b}}}$ области, ограниченной грушевидной квартикой^[2][7][6][3]) может быть записано по-другому:

• в виде следующего канонического уравнения эллипса^[2]:

${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}=1}$

или

${\displaystyle {\frac {(x-b)^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}=1,}$

где ${\displaystyle a=b}$ (и площадью ${\displaystyle S=\pi a^{2}}$ кривой);

• в сокращённой форме^[2][7][6]:

${\displaystyle x^{4}-dx^{3}=-b^{2}y^{2},}$

где ${\displaystyle d=2a}$ — диаметр базовой окружности антигиперболизма (и площадь ${\displaystyle S={\frac {\pi d}{8b}}}$ кривой);

• в очень сокращённой форме^[1]:

${\displaystyle x^{4}-x^{3}=-y^{2},}$

где ${\displaystyle 2a=b=1}$ (и площадь ${\displaystyle S={\frac {\pi }{8}}}$ кривой);

• с изменённым параметром ${\displaystyle b={\frac {a^{2}}{p}}}$ (и площадью ${\displaystyle S=\pi ap\;}$ кривой, которая совпадает с площадью эллипса с полуосями ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle p}$^[3]), теперь параметр ${\displaystyle a}$ масштабирует кривую вдоль оси симметрии^[5][3]:

${\displaystyle p^{2}x^{3}(2a-x)=a^{4}y^{2}.}$

Все уравнения, рассмотренные выше, имеют горизонтальную ось симметрии (совпадающую с оью абсцисс) и касп, расположенный слева при ${\displaystyle a>0.}$ Но касп можно расположить на графике и справа, записав уравнение грушевидной квартики в следующей форме при ${\displaystyle a>0\!:}$

${\displaystyle x^{4}+2ax^{3}=-b^{2}y^{2}.}$

У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью абсцисс. У следующих уравнений ось симметрии грушевидной квартики совпадает с осью ординат^[9]:

• касп расположен внизу при ${\displaystyle a>0}$:

${\displaystyle y^{4}-2ay^{3}=-b^{2}x^{2};}$

• касп расположен вверху при ${\displaystyle a>0}$:

${\displaystyle y^{4}+2ay^{3}=-b^{2}x^{2}.}$

Частные случаи

Антиверзиера — частный случай грушевидной квартики при ${\displaystyle b=2a}$ со следующим уравнением^[10]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-4a^{2}y^{2}.}$

При обобщении антиверзиеры до грушевидной квартики её уравнение записывают в следующем виде^[10]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-4{\frac {a^{4}}{b^{2}}}y^{2}.}$

Волчок, или юла — частный случай грушевидной квартики при ${\displaystyle b=a}$ со следующим уравнением^[11]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-a^{2}4y^{2}.}$

Жемчужная кривая четвёртого порядка — название двух разных кривых, одна из которых — частный случай грушевидной квартики при ${\displaystyle b=2a,}$ со следующими уравнениями^[9]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-4a^{2}y^{2},}$

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-y^{4}.}$

Жемчужная кривая четвёртого порядка обычно имеет форму с осью симметрии, параллельной оси ординат^[9]:

${\displaystyle y^{4}-2ay^{3}=-4a^{2}x^{2},}$

${\displaystyle y^{4}-2ay^{3}=-x^{4}.}$

Квартика Бонне — частный случай грушевидной квартики при ${\displaystyle b=2a}$ со следующим уравнением^[12]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-4a^{2}y^{2}.}$

Вывод уравнения и геометрическое построение

Получить грушевидную квартику ${\displaystyle F(X,Y)}$ путём антигиперболизма ${\displaystyle Y={\frac {xy}{b}},}$ ${\displaystyle X=x}$ базовой окружности ${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ радиуса ${\displaystyle a}$ с началом координат на этой окружности и базовой прямой ${\displaystyle x=b}$, перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координат^[2] можно двумя способами:

• исходя из уравнения базовой окружности:

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2},}$

${\displaystyle (x-a)^{2}+\left({\frac {bY}{x}}\right)^{2}=a^{2},}$

${\displaystyle X^{4}-2aX^{3}=-b^{2}Y^{2};}$

• исходя из преобразования антигиперболизма:

${\displaystyle Y={\frac {xy}{b}},}$

${\displaystyle Y^{2}={\frac {x^{2}}{b^{2}}}y^{2},}$

${\displaystyle b^{2}Y^{2}=x^{2}(a^{2}-(x-a)^{2}),}$

${\displaystyle X^{4}-2aX^{3}=-b^{2}Y^{2}.}$

Получаем, что преобразование антигиперболизма окружности:

• сохраняет абсциссу ${\displaystyle x;}$
• изменяет ординату ${\displaystyle y}$ пропорционально абсциссе и ординате с постоянным коэффициентом ${\displaystyle {\frac {1}{b}}.}$

Геометрическое построение красной точки грушевидной квартики

Выясним роль базовых окружности и прямой, построив грушевидную квартику геометрически (см. рисунок справа)^[1][2][5]:

• выберем внутри диаметра базовой окружности произвольную точку с абсциссой ${\displaystyle x'}$, которая будет также и абсциссой грушевидной квартики;
• проведём прямую ${\displaystyle x=x'}$, которая пересечётся с базовой окружностью в точке ${\displaystyle P''=(x',\,y'),\,}$ на которой будет расположена точка грушевидной квартики;
• проведём базовую прямую ${\displaystyle x=b}$;
• проведём прямую ${\displaystyle y=y'}$, которая пересечётся с базовой прямой ${\displaystyle x=b}$ в точке ${\displaystyle P'=(b,\,y')}$;
• проведём прямую через начало координат и точку ${\displaystyle P'}$, которая пересечётся с прямой ${\displaystyle x=x'}$ в точке ${\displaystyle P}$ — точке грушевидной квартики.

Получим уравнение грушевидной квартики в декартовых координатах, исходя из её геометрического построения^[5]:

• пусть уравнение прямой ${\displaystyle (P',\,P)}$ есть

${\displaystyle y=mx}$,

где ${\displaystyle m}$ — некоторый угловой коэффициент, тогда декартовы координаты точки грушевидной квартики будут

${\displaystyle (x',\,mx')=(x',\,y');}$

• координата точки ${\displaystyle P'}$ будет ${\displaystyle (b,\,mb),}$ а точки ${\displaystyle P''}$ — ${\displaystyle (x',\,mb);}$
• поскольку точка ${\displaystyle P''}$ лежит на базовой окружности, то

${\displaystyle m^{2}b^{2}=-x'^{2}+2ax'}$

${\displaystyle b^{2}y'^{2}=b^{2}m^{2}x'^{2}=-x'^{4}+2ax'^{3},}$

а поскольку ${\displaystyle x'}$ — произвольная точка, окончательно получаем уравнение грушевидной квартики в виде

${\displaystyle X^{4}-2aX^{3}=-b^{2}Y^{2}.}$

Из подобных треугольников 0x'P и 0bP' этого геометрического построения также можно получить уравнения преобразования антигиперболизма, которое зависит только от базовой прямой ${\displaystyle x=b}$ и не зависит от базовой кривой^[8]:

${\displaystyle {\frac {Y'}{y'}}={\frac {x'}{b}},}$ ${\displaystyle X'=x',}$

${\displaystyle Y={\frac {xy}{b}},}$ ${\displaystyle X=x.}$

Базовая окружность есть гиперболизм грушевидной квартики^[8].

Уравнение в других координатных системах

Для перевода уравнения кривой из декартовой ${\displaystyle (x,\,y)}$ в полярную систему координат ${\displaystyle (r,\,\varphi )}$ (и обратно) используют соотношения

${\displaystyle x=r\cos \varphi ,\,}$ ${\displaystyle y=r\sin \varphi ,\,}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},}$

поэтому полярное уравнение грушевидной квартики будет следующим^[13]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2},}$

${\displaystyle (r\cos \varphi )^{4}-2a(r\cos \varphi )^{3}=-b^{2}(r\sin \varphi )^{2},}$

${\displaystyle b^{2}\sin ^{2}\varphi +r^{2}\cos ^{4}\varphi -2ar\cos ^{3}\varphi =0.}$

В параметрическом виде уравнение грушевидной квартики на вещественной декартовой плоскости

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}}$

может быть таким^[1][3][13]:

${\displaystyle x=a(1+\sin t),}$

${\displaystyle by=a^{2}(1+\sin t)\cos t,}$

где ${\displaystyle t={\frac {\pi }{2}}-2\varphi ,}$

или таким^[2]:

${\displaystyle x=2a\cos ^{2}t=a(1+\cos u),}$

${\displaystyle by=4a^{2}\cos ^{3}t\sin t={\frac {a^{2}}{2}}(\sin {2u}+2\sin u),}$

где ${\displaystyle 2t=2\varphi =u.}$

Виды грушевидных квартик

В этом разделе грушевидные квартики определяются уравнением

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}.}$

Пересечение с осями и экстремумы

Отмечены касп, правая вершина и точки максимума и минимума

Произвольная грушевидная квартика пересекается с осями декартовых координат в следующих точках (см. рисунок справа)^[13]:

• с осью абсцисс ${\displaystyle x=0}$ в точках ${\displaystyle (0,\,0)}$ и ${\displaystyle (2a,\,0);}$
• с осью ординат ${\displaystyle y=0}$ в точке ${\displaystyle (0,\,0);}$
• в точке ${\displaystyle (0,\,0)}$ находится касп грушевидной квартики с касательной ${\displaystyle y=0}$ — осью абсцисс^[7];
• в точке ${\displaystyle (2a,\,0)}$ на оси симметрии находится вершина грушевидной квартики^[7];

Декартовы координаты точек произвольной грушевидной квартики ограничены следующими неравенствами (см. рисунок справа)^[13][7]:

• ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 2a,}$ крайняя левая точка ${\displaystyle (0,\,0)}$ и крайняя правая ${\displaystyle (2a,\,0);}$
• ${\displaystyle -{\frac {a^{2}}{4b}}3{\sqrt {3}}\leqslant y\leqslant {\frac {a^{2}}{4b}}3{\sqrt {3}},}$ минимум кривой ${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}a,\,-{\frac {a^{2}}{4b}}3{\sqrt {3}}\right)}$ и максимум ${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}a,\,{\frac {a^{2}}{4b}}3{\sqrt {3}}\right);}$
• экстремальные точки грушевидной квартики лежат на прямой ${\displaystyle x={\frac {3}{4}}a,}$ их иногда неправильно называют вершинами^[7].

Точки перегиба

Отмечены касп, правая вершина и точки перегиба

Вычислим вторую производную функции, задающей грушевидную квартику^[6]:

${\displaystyle y={\frac {x{\sqrt {x}}}{b}}{\sqrt {2a-x}},}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\sqrt {x}}{b}}{\frac {3a-2x}{\sqrt {2a-x}}},}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}={\frac {2x^{2}-6ax+3a^{2}}{b{\sqrt {x}}\left({\sqrt {2a-x}}\right)^{3}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a(3a-2x)-2x(2a-x)}{b{\sqrt {x}}\left({\sqrt {2a-x}}\right)^{3}}}.}$

В точке перегиба вторая производная функции меняет знак, то есть необходимое условие точки перегиба — равенство нулю второй производной функции (а заодно и кривизны кривой). Другими словами, точки перегиба суть решение следующей системы уравнений:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}=0,\\0\leqslant x\leqslant 2a.\end{array}}\right.}$

Получаем следующие точки перегиба грушевидной квартики (см. рисунок справа):

${\displaystyle \left(a{\frac {3-{\sqrt {3}}}{2}},\,{\frac {a^{2}}{2b}}{\sqrt {6{\sqrt {3}}-9}}\right),}$

лежащие на прямой ${\displaystyle x=a{\frac {3-{\sqrt {3}}}{2}}.}$

Пересечение с базовой окружностью

Отмечены точки пересечения квартик с базовой окружностью

Грушевидная квартика

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2};}$

всегда пересекается с базовой окружностью

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

в двух точках:

• на каспе ${\displaystyle (0,\,0),}$
• в вершине ${\displaystyle (2a,\,0),}$

и, кроме того, может пересекаться ещё в точках пересечения базовой прямой с базовой окружностью.

В итоге грушевидные квартики по точкам пересечения с базовой окружностью делятся на три вида (см. рисунок справа):

• при ${\displaystyle 0<b<2a}$ имеем четыре точки пересечения: ${\displaystyle (0,\,0),}$ ${\displaystyle (2a,\,0)}$ и ${\displaystyle (b,\,\pm {\sqrt {2ab-b^{2}}});}$
• для пограничной квартики Бонне с ${\displaystyle b=2a}$ две предыдущие точки пересечения ${\displaystyle (b,\,\pm {\sqrt {2ab-b^{2}}})}$ сливаются с точкой ${\displaystyle (2a,\,0),}$ остаются две точки пересечения: ${\displaystyle (0,\,0)}$ и «тройная» ${\displaystyle (2a,\,0);}$
• при ${\displaystyle b>2a}$ имеем две обычные точки пересечения: ${\displaystyle (0,\,0)}$ и ${\displaystyle (2a,\,0).}$

Кривизна и вершины

Показаны графики соответствующих функций ориентированной кривизны, отмечены их экстремальные точки и показана кривая, на которой лежат эти точки

Грушевидная квартика

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}}$

всегда пересекается со своей осью симметрии

${\displaystyle y=0}$

в двух вершинах в силу этой симметрии:

• на каспе ${\displaystyle (0,\,0)}$ — бывшей вершине,
• в вершине ${\displaystyle (2a,\,0),}$

и, кроме того, может иметь ещё две вершины в точках, определяемых при помощи кривизны грушевидной квартики

${\displaystyle \kappa (x)={\frac {|y''|}{({\sqrt {1+y'^{2}}})^{3}}},}$

а именно: в точках, в которых первая производная её кривизны, или ориентированной кривизны

${\displaystyle \kappa _{o}(x)={\frac {y''}{({\sqrt {1+y'^{2}}})^{3}}},}$

равна нулю (см. графики функций кривизны на рисунке справа)^[6]:

${\displaystyle {\frac {d\kappa _{o}(x)}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\frac {y''}{({\sqrt {1+y'^{2}}})^{3}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}{\frac {b^{2}(a(3a-2x)-2x(2a-x))}{{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x(3a-2x)^{2}+b^{2}(2a-x)}}\right)^{3}}}=0.}$

Введём новые переменные — блоки:

${\displaystyle p(x)=2a-x,\,}$ ${\displaystyle p'(x)=-1,}$

${\displaystyle q(x)=3a-2x,\,}$ ${\displaystyle q'(x)=-2,}$

${\displaystyle r(x)=2x^{2}-6ax+3a^{2},\,}$ ${\displaystyle r'(x)=-2q(x),}$

тогда

${\displaystyle y={\frac {x^{3/2}}{b}}{\sqrt {p}},\,}$ ${\displaystyle y'={\frac {\sqrt {x}}{b}}{\frac {q}{\sqrt {p}}},\,}$ ${\displaystyle y''={\frac {1}{b{\sqrt {x}}}}{\frac {r}{p^{3/2}}},}$

${\displaystyle y'''={\frac {-3a^{3}}{bx^{3/2}p^{5/2}}},\,}$ ${\displaystyle 1+y'^{2}={\frac {b^{2}p+q^{2}x}{b^{2}p}},}$

и блочное уравнение производной ориентированной кривизны будет иметь следующий вид:

${\displaystyle \kappa _{o}'(x)=\left({\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}\right)'=}$

${\displaystyle ={\frac {y'''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}-{\frac {3y'y''^{2}}{(1+y'^{2})^{5/2}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {-3a^{3}(b^{2}p+q^{2}x)}{b^{3}x^{3/2}p^{7/2}(1+y'^{2})^{5/2}}}-{\frac {3q{\sqrt {x}}r^{2}}{b^{3}p^{7/2}x(1+y'^{2})^{5/2}}}=}$

${\displaystyle =-3{\frac {a^{3}(b^{2}p+q^{2}x)+qr^{2}x}{b^{3}x^{3/2}p^{7/2}(1+y'^{2})^{5/2}}}=}$

${\displaystyle =-3{\frac {(a^{3}(b^{2}p+q^{2}x)+qr^{2}x)(b^{2}p)^{5/2}}{b^{3}x^{3/2}p^{7/2}(b^{2}p+q^{2}x)^{5/2}}}=}$

${\displaystyle =-3{\frac {(a^{3}b^{2}p+a^{3}q^{2}x+qr^{2}x)b^{2}}{px^{3/2}(b^{2}p+q^{2}x)^{5/2}}}.}$

После упрощения:

${\displaystyle \kappa _{o}'(x)=-3{\frac {(a^{3}b^{2}+2qx(3a^{3}-xp^{2}))b^{2}}{x^{3/2}(b^{2}p+q^{2}x)^{5/2}}}.}$

Дальнейший расчёт производной кривизны

Полученной блочной неупрощённой формулы для кривизны досточно во многих случаях, но продолжим расчёт:

${\displaystyle \kappa _{o}'(x)=-3{\frac {(a^{3}b^{2}p+a^{3}q^{2}x+qr^{2}x)b^{2}}{px^{3/2}(b^{2}p+q^{2}x)^{5/2}}}=}$

${\displaystyle =-3{\frac {(a^{3}b^{2}p+qx(a^{3}q+r^{2}))b^{2}}{px^{3/2}(b^{2}p+q^{2}x)^{5/2}}}.}$

Найдём

${\displaystyle a^{3}q+r^{2}=}$

${\displaystyle =a^{3}(3a-2x)+4x^{4}+36a^{2}x^{2}+9a^{4}-}$

${\displaystyle {}-24ax^{3}+12a^{2}x^{2}-36a^{3}x=}$

${\displaystyle =4x^{4}-24ax^{3}+48a^{2}x^{2}-38a^{3}x+12a^{4}=}$

${\displaystyle =x^{2}(2x-4a)^{2}-8ax^{3}+32a^{2}x^{2}-38a^{3}x+12a^{4}=}$

${\displaystyle =x^{2}(2x-4a)^{2}-2ax(2x-4a)^{2}-6a^{3}x+12a^{4}=}$

${\displaystyle =x^{2}(4a-2x)^{2}-2ax(4a-2x)^{2}+3a^{3}(4a-2x)=}$

${\displaystyle =2x^{2}p^{2}-4axp^{2}+6a^{3}p=}$

${\displaystyle =2p(x^{2}p-2axp+3a^{3})=}$

${\displaystyle =2p(3a^{3}-xp^{2}).}$

Тогда

${\displaystyle \kappa _{o}'(x)=-3{\frac {(a^{3}b^{2}+2qx(3a^{3}-xp^{2}))b^{2}}{x^{3/2}(b^{2}p+q^{2}x)^{5/2}}}.}$

Раскроем блоки, полностью вернёмся к переменным ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \kappa _{o}'(x)=-3{\frac {(a^{3}b^{2}+2(3a-2x)x(3a^{3}-x(2a-x)^{2}))b^{2}}{x^{3/2}(b^{2}(2a-x)+(3a-2x)^{2}x)^{5/2}}}.}$

Найдём

${\displaystyle a^{3}b^{2}+2(3a-2x)x(3a^{3}-x(2a-x)^{2})=}$

${\displaystyle =a^{3}b^{2}+2(3ax-2x^{2})(3a^{3}-4a^{2}x-x^{3}+4ax^{2})=}$

${\displaystyle =a^{3}b^{2}+18a^{4}x-24a^{3}x^{2}+24a^{2}x^{3}-6ax^{4}-}$

${\displaystyle {}-12a^{3}x^{2}+16a^{2}x^{3}-16ax^{4}+4x^{5}=}$

${\displaystyle =4x^{5}-22ax^{4}+40a^{2}x^{3}-36a^{3}x^{2}+18a^{4}x+a^{3}b^{2},}$

${\displaystyle b^{2}(2a-x)+(3a-2x)^{2}x=}$

${\displaystyle 2ab^{2}-xb^{2}+4x^{3}-12ax^{2}+9a^{2}x=}$

${\displaystyle 4x^{3}-12ax^{2}+(9a^{2}-b^{2})x+2ab^{2}.}$

Тогда

${\displaystyle \kappa _{o}'(x)=-3{\frac {(4x^{5}-22ax^{4}+40a^{2}x^{3}-36a^{3}x^{2}+18a^{4}x+a^{3}b^{2})b^{2}}{x^{3/2}(4x^{3}-12ax^{2}+(9a^{2}-b^{2})x+2ab^{2})^{5/2}}}.}$

Вершины грушевидных квартик могут быть в точках, в которых первая производная их ориентированной кривизны равна нулю:

${\displaystyle \kappa _{o}'(x)=0,}$

то есть в точках

${\displaystyle a^{3}b^{2}+2qx(3a^{3}-xp^{2})=0.}$

Отсюда получаем значения ${\displaystyle b_{vertex},}$ которые соответствуют вершинам грушевидных квартик:

${\displaystyle b_{vertex}^{2}={\frac {2qx(xp^{2}-3a^{3})}{a^{3}}}=0,}$

а также:

• из уравнения функции ориентированной кривизны

${\displaystyle \kappa _{o}(x)={\frac {b^{2}(a(3a-2x)-2x(2a-x))}{{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x(3a-2x)^{2}+b^{2}(2a-x)}}\right)^{3}}}=0}$

получаем уравнение кривой, на которой лежат точки экстремума функций ориентированной кривизны (см. рисунок справа вверху)

${\displaystyle \kappa _{o}(x)={\frac {b_{vertex}^{2}(a(3a-2x)-2x(2a-x))}{{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x(3a-2x)^{2}+b_{vertex}^{2}(2a-x)}}\right)^{3}}}=0,}$

Показана кривая, на которой лежат вершины грушевидных квартик, и отмечены эти вершины

Показаны графики соответствующих функций кривизны и их экстремальные точки с кривой, на которой они лежат, а также показаны вершины квартик с.кривой, на которой они лежат

а из уравнения грушевидной квартики

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}}$

получаем уравнение кривой. на которой лежат вершины грушевидных квартик (см. рисунок справа)

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b_{vertex}^{2}y^{2}.}$

Деление на виды грушевидных квартик по вершинам основано на двух грушевидных квартиках, которые существенно отличаются от остальных:

• грушевидная квартика с ${\displaystyle b\approx 3,46a}$, у которой вместо трёх вершин справа — одна вершина, три вершины слились в одну (см. рисунки справа и справа вверху);
• грушевидная квартика с ${\displaystyle b\approx 2,45a}$, у которой экстремальная кривизна минимальна из всех экстремальных кривизн грушевидных квартик (см. рисунок справа).

В итоге грушевидные квартики по вершинам делятся на пять вида (см. рисунок справа):

1) при ${\displaystyle 0<b\lessapprox 2,45a}$ имеем касп и три вершины, а также не минимальную экстремальную кривизну;

2) пограничная квартика с ${\displaystyle b\approx 2,45a}$ имеет касп и три вершины, а также минимальную экстремальную кривизну;

3) при ${\displaystyle 2,45a\lessapprox b\lessapprox 3,46a}$ имеем то же, что и при 1);

4) пограничная квартика с ${\displaystyle b\approx 3,46a}$ имеет касп и одну тройную вершину, а также не минимальную экстремальную кривизну;

5) при ${\displaystyle 3,46a\lessapprox b}$ имеем то же, что и при 4).

Обобщения грушевидной квартики

Грушевидная квартика обобщается в двух направлениях произвольными степенями переменных:

• как замкнутая кривая — жемчужная кривая (англ. pearl curve) со следующим уравнением^[14]:

${\displaystyle x^{s}(2a-x)^{r}=b^{p}y^{p},}$

где ${\displaystyle a>0,\,}$ ${\displaystyle p=2n,\,}$ ${\displaystyle s=2m-1,\,}$ ${\displaystyle r=2l-1,\,}$ ${\displaystyle n,m,l\in \mathbb {N} .}$ Грушевидная квартика получается при ${\displaystyle p=2,\,}$ ${\displaystyle s=3,\,}$ и ${\displaystyle r=1.}$

• как каплевидная кривая — оторвавшаяся капля (англ. teardrop curve) со следующим уравнением^[15][16][17]:

${\displaystyle x^{s}(2a-x)^{r}=b^{2}y^{2}.}$ Грушевидная квартика получается при ${\displaystyle s=3,\,}$ и ${\displaystyle r=1.}$

• как обобщение двух предыдущих случаев — жемчужины Слюза (англ. pearls of de Sluze) со следующим уравнением^[18]:

${\displaystyle x^{s}(2a-x)^{r}=b^{p}y^{p},}$

с любыми параметрами. Грушевидная квартика получается при ${\displaystyle p=2,\,}$ ${\displaystyle s=3,\,}$ и ${\displaystyle r=1.}$

• Обобщения грушевидной квартики
• 
  Жемчужные кривые, в том числе грушевидная квартика
• 
  Оторвавшиеся капли, в том числе грушевидная квартика
• 
  Жемчужины Слюза, в том числе грушевидная квартика

Как антигиперболизм окружности грушевидная квартика обобщается произвольным расположением полюса вне окружности. В этом случае возникают две ветви антигиперболизма окружности.

Примечания

1. jan wassenaar piriform, 2013.
2. Ferréol Robert. Piriform quartic, 2017.
3. Weisstein Eric W. Piriform Curve, 2024.
4. Квартика, 1988.
5. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 5.13. Piriform (De Longchamps, 1886), с. 149.
6. Weisstein Eric W. Pear-Shaped Curve, 2024.
7. Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Грушевидная квартика, с. 84.
8. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, Класс IV. Гиперболизмы конических сечений, с. 23—24.
9. Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Жемчужная кривая четвёртого порядка, с. 88.
10. Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Антиверзиера, с. 59.
11. Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Волчок (юла), с. 70.
12. Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Квартика Бонне, с. 94.
13. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 5.13. Piriform (De Longchamps, 1886), с. 150.
14. Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Жемчужная кривая, с. 87; с. 327.
15. jan wassenaar teardrop curve, 2004.
16. Ferréol Robert. Tear drop curve, 2017.
17. Weisstein Eric W. Teardrop Curve, 2024.
18. jan wassenaar pearls of de Sluze, 2003.

Источники

• Квартика // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 266.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с., ил. ISBN 5-7036-0027-8.
• Ferréol Robert. Piriform quartic // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 28 февраля 2024 на Wayback Machine
• Ferréol Robert. Tear drop curve // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 16 марта 2024 на Wayback Machine
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
• jan wassenaar pearls of de Sluze // mathematical curves Архивная копия от 30 ноября 2022 на Wayback Machine
• jan wassenaar piriform // mathematical curves Архивная копия от 29 ноября 2022 на Wayback Machine
• jan wassenaar teardrop curve // mathematical curves Архивная копия от 19 марта 2024 на Wayback Machine
• Weisstein Eric W. Pear-Shaped Curve // Wolfram MathWorld Архивная копия от 19 декабря 2022 на Wayback Machine
• Weisstein Eric W. Piriform Curve // Wolfram MathWorld Архивная копия от 21 августа 2023 на Wayback Machine
• Weisstein Eric W. Teardrop Curve // Wolfram MathWorld Архивная копия от 12 августа 2023 на Wayback Machine