Хилмар Баунсгор родился в Слагельсе на острове Зеландия. Баунсгор окончил учёбу в высшем коммерческом училище и работал в частных организациях.
Политическая карьера
Хилмар Баунсгор вступил в партию «Радикальная Венстре» (дат.Det Radikale Venstre) и с 1948 года был одним из лидеров этой партии. В том же году он стал председателем молодёжной организации партии. В 1957 году он впервые был избран в парламент Дании (Фолкетингет), в котором сидел до 1977 года. Он был министром торговли с 1961 по 1964 год в правительствах Вигго Кампманна и Йенса Отто Крага. В 1964 году Баунсгор и его партия покинули правительство. В 1968 году было сформировано новое правительство из радикальных левых, «Венстре» и Консервативной народной партии с Баунсгором в качестве премьер-министра. После выборов 1971 года Баунсгор и его правительство ушли в отставку. В 1977 году Баунсгор ушёл с должности председателя партии, его заменил Свен Хаугорд.
Жизнь после политической карьеры
Покинув политику, Баунсгор стал председателем правления датской газеты Politiken, прежде бывшей рупором партии «Радикальная Венстре».
